Resolva o problema de valor inicial dado.
(x y^{2} \frac{d y}{d x}=y{3}-x{3}, \quad y(1)=2)

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
x,y^2,dydx=y^3-x^3, y(1)=2
Isso é uma EDO de primeira ordem, que podemos tratar por separação ou por substituição em função de y/x.

Passo 2

Primeiro isolamos dydx dividindo por x,y^2:
dydx =y^3-x^3x,y^2 =yx-x^2y^2
Como o lado direito depende apenas de y/x, faz sentido usar a substituição
y = u,x

Passo 3

Com y=u,x temos
dydx=u + xdudx
Substituindo em dydx=yx-x^2y^2 resulta
u + xdudx = u - 1u^2 Longrightarrow xdudx = -1u^2

Passo 4

Separamos variáveis:
u^2,du = -dxx
Integrando ambos os lados,
integral u^2,du = integral -dxx Longrightarrow u^33 = -ln|x| + C
Multiplicando por 3 e renomeando C1=3C, obtemos
u^3 = C1 - 3ln|x|
Como u=y/x, isto dá
y^3x^3=C1 - 3ln|x| Longrightarrow y^3 = x^3l(C1 - 3ln|x|r)

Passo 5

Usamos a condição inicial y(1)=2:
2^3 = 1^3l(C1 - 3ln1r) ;Longrightarrow; 8 = C1
(sabendo que ln1=0). Assim a solução geral fica
y^3 = x^3l(8 - 3ln|x|r) Longrightarrow y = x,(8 - 3ln|x|)^1/3,
e, no entorno de x=1>0, simplificamos para ln|x|=ln x.

Resposta

y(x) = x,(8 - 3ln x)^1/3

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