Resolva o problema de valor inicial dado.
(x y^{2} \frac{d y}{d x}=y{3}-x{3}, \quad y(1)=2)
(x y^{2} \frac{d y}{d x}=y{3}-x{3}, \quad y(1)=2)
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
Isso é uma EDO de primeira ordem, que podemos tratar por separação ou por substituição em função de
.
Passo 2
Primeiro isolamos
dividindo por
:
Como o lado direito depende apenas de
, faz sentido usar a substituição
Passo 3
Com
temos
Substituindo em
resulta
Passo 4
Separamos variáveis:
Integrando ambos os lados,
Multiplicando por 3 e renomeando
, obtemos
Como
, isto dá
Passo 5
Usamos a condição inicial
:
(sabendo que
). Assim a solução geral fica
e, no entorno de
, simplificamos para
.