(a) Verifique explicitamente que o estado |\psi\rangle está normalizado. Justifique todos os passos.
(b) Escreva o bra correspondente \langle\psi|.
(c) Calcule o valor esperado do observável \hat{A} no estado |\psi\rangle :
(d) Qual é a probabilidade de medir o autovalor 1 no estado |\psi\rangle ?
Observação: Todas as respostas devem ser justificadas utilizando notação de Dirac. Cada item vale 1,0 ponto.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e perguntas (listei tudo que é relevante):
Base ortonormal \{\left|e_{1}\right\rangle,\left|e_{2}\right\rangle,\left|e_{3}\right\rangle\} com \left\langle e_{i}\mid e_{j}\right\rangle=\delta_{ij}.
As perguntas a responder são:
(a) Verificar explicitamente que |\psi\rangle está normalizado.
(b) Escrever o bra correspondente \langle\psi|.
(c) Calcular o valor esperado \langle A\rangle=\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle.
(d) Calcular a probabilidade de medir o autovalor 1 no estado |\psi\rangle.]
Passo 2
(a) Verificar normalização — conceito e cálculo passo a passo.
Lembrete rápido: o estado |\psi\rangle está normalizado se o seu produto interno com ele mesmo for 1, isto é \langle\psi|\psi\rangle=1. Em coordenadas na base ortonormal, se |\psi\rangle=\sum_i c_i\left|e_i\right\rangle então
\langle\psi|\psi\rangle=\sum_i |c_i|^2,
porque \langle e_i\mid e_j\rangle=\delta_{ij}.
No nosso caso os coeficientes são c_1=\dfrac{2}{\sqrt{14}}, c_2=\dfrac{3}{\sqrt{14}}, c_3=\dfrac{1}{\sqrt{14}}. Então
Conclusão (a): |\psi\rangle está normalizado porque \langle\psi|\psi\rangle=1.
Passo 3
(b) Construir o bra correspondente — explicação e resultado.
Conceito: o bra \langle\psi| é o adjunto (conjugado transposto) do ket |\psi\rangle. Em uma base ortonormal, trocar \left|e_i\right\rangle por \left\langle e_i\right| e tomar conjugado dos coeficientes.
Aqui os coeficientes são reais, então o conjugado não altera nada. Assim
(c) Calcular o valor esperado \langle A\rangle=\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle — método e contas detalhadas.
Fórmula e ideia: o valor esperado é a média do observável \hat{A} no estado |\psi\rangle. Em representação matricial, calcular primeiro \hat{A}|\psi\rangle (multiplicação matriz por vetor) e depois o produto interno com \langle\psi|.
Escrever |\psi\rangle como vetor coluna (sem o fator 1/\sqrt{14} escrito separadamente):
(d) Probabilidade de medir o autovalor 1 — conceito geral e aplicação com degenerescência.
Conceito: se \hat{A} tem autovalor \lambda cujo espaço próprio tem dimensão maior que 1 (degenerescência), a probabilidade de obter \lambda ao medir \hat{A} é a soma das probabilidades de projetar |\psi\rangle sobre uma base ortonormal \{\left|\phi_k\right\rangle\} desse subespaço próprio:
Para o subespaço gerado por \{\left|e_2\right\rangle,\left|e_3\right\rangle\} consideramos a submatriz
B=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}.
Os autovalores de B são 3 e 1 (pode-se verificar calculando \det(B-\lambda I)=(2-\lambda)^2-1=(\lambda-3)(\lambda-1)). Logo \hat{A} tem autovalores \{3,1,1\}: o autovalor 1 é degenerado (multiplicidade 2).
Encontrar um autovetor (normalizado) no subespaço \mathrm{span}\{\left|e_2\right\rangle,\left|e_3\right\rangle\} associado a \lambda=1. Resolver (B-I)v=0: