( 2,0 Pontos) A função de onda para uma partícula confinada entre 0 \leq x \leq a no estado fundamental foi encontrada como:
\psi(x)=A \operatorname{sen}\left(\frac{\pi x}{a}\right)
onde A é a constante de normalização. Encontre o valor de A e determine a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo \frac{a}{2} \leq x \leq \frac{3 a}{2}.

Passo 1

O enunciado dá a função de onda no estado fundamental
\psi(x)=A \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)
para a partícula confinada no intervalo 0 \le x \le a, onde A é a constante de normalização desconhecida. Ele pede duas coisas:
  • Encontrar o valor de A.
  • Determinar a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo \dfrac{a}{2}\le x\le \dfrac{3a}{2}.
Informações relevantes fornecidas ou implicadas:
  • A função de onda vale \psi(x)=0 para x<0 e x>a (partícula confinada no poço infinito entre 0 e a).
  • A densidade de probabilidade é |\psi(x)|^2.
  • A normalização exige que a probabilidade total seja 1, ou seja a integral de |\psi(x)|^2 sobre todo o espaço (aqui, de 0 a a) deve ser 1.

Passo 2

Conceito de normalização (aula rápida): a função de onda deve satisfazer
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2\,dx = 1.
Como a partícula está confinada entre 0 e a, isso vira
\int_{0}^{a} |\psi(x)|^2\,dx = 1.
Aqui |\psi(x)|^2=\psi(x)^2 porque \psi é real. Substituindo \psi obtemos a condição
|A|^2 \int_{0}^{a} \sin^2\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\,dx = 1.
Identidade útil (e por que ela funciona): use
\sin^2\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}{2},
pois isso transforma a integral de \sin^2 numa integral que dá uma parte constante e uma parte com cosseno, fácil de integrar. A integral indefinida que vamos usar é
\int \sin^2(kx)\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2kx)}{4k} + C,
onde k é uma constante e C é a constante de integração. Essa fórmula vem diretamente de aplicar a identidade acima e integrar termo a termo.

Passo 3

Calcular A usando a normalização. Tomando k=\dfrac{\pi}{a},
\int_{0}^{a} \sin^2\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\,dx = \left[\frac{x}{2} - \frac{\sin\!\big(2\frac{\pi}{a}x\big)}{4\cdot(\pi/a)}\right]_{0}^{a}.
Avaliaremos as duas bordas:
  • Em x=a: \dfrac{x}{2}=\dfrac{a}{2} e \sin\!\big(2\frac{\pi}{a}a\big)=\sin(2\pi)=0.
  • Em x=0: \dfrac{x}{2}=0 e \sin(0)=0.
Portanto a integral vale
\int_{0}^{a} \sin^2\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\,dx = \frac{a}{2}.
Inserindo na condição de normalização:
|A|^2 \cdot \frac{a}{2} = 1 \quad\Rightarrow\quad |A|^2 = \frac{2}{a}.
Escolhendo a fase convencional real e positiva, obtemos
A = \sqrt{\frac{2}{a}}.
(Se preferir, poderia tomar A=-\sqrt{2/a}; ambos representam a mesma densidade de probabilidade.)

Passo 4

Definição e observação sobre o intervalo pedido: a probabilidade de encontrar a partícula entre x_1 e x_2 é
P(x_1\le x\le x_2)=\int_{x_1}^{x_2} |\psi(x)|^2\,dx.
No problema o intervalo pedido é \dfrac{a}{2}\le x\le \dfrac{3a}{2}. Mas atenção: a função de onda é zero para x>a. Portanto, a integral efetiva é só de x=\dfrac{a}{2} até x=a. Em soma: a parte do intervalo entre a e \tfrac{3a}{2} não contribui porque \psi=0 lá.

Passo 5

Calcular a probabilidade pedida. Usando A=\sqrt{2/a},
P\!\left(\frac{a}{2}\le x\le \frac{3a}{2}\right) = \int_{a/2}^{3a/2} |\psi(x)|^2\,dx = \int_{a/2}^{a} \left(\sqrt{\frac{2}{a}}\right)^2 \sin^2\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\,dx.
Simplificando o fator fora da integral:
P = \frac{2}{a} \int_{a/2}^{a} \sin^2\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\,dx.
Usamos novamente a primitiva da Passo 3:
\int_{a/2}^{a} \sin^2\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\,dx = \left[\frac{x}{2} - \frac{\sin\!\big(2\frac{\pi}{a}x\big)}{4(\pi/a)}\right]_{a/2}^{a}.
Avaliação das bordas:
  • Em x=a: \dfrac{x}{2}=\dfrac{a}{2}, \sin(2\pi)=0 → expressão =\dfrac{a}{2}.
  • Em x=a/2: \dfrac{x}{2}=\dfrac{a}{4}, \sin(\pi)=0 → expressão =\dfrac{a}{4}.
Subtract:
\int_{a/2}^{a} \sin^2\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\,dx = \frac{a}{2}-\frac{a}{4}=\frac{a}{4}.
Agora multiplicando pelo fator externo:
P = \frac{2}{a}\cdot \frac{a}{4} = \frac{1}{2}.
Interpretando: metade da probabilidade total está no semiperíodo direito do poço. Isso também pode ser visto por simetria do quadrado da função de onda do estado fundamental.

Resposta

A=\sqrt{\dfrac{2}{a}}
P\!\left(\dfrac{a}{2}\le x\le \dfrac{3a}{2}\right)=\dfrac{1}{2}

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