( 2,0 Pontos) A função de onda para uma partícula confinada entre
no estado fundamental foi encontrada como:
onde A é a constante de normalização. Encontre o valor de A e determine a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo
.
Passo 1
O enunciado dá a função de onda no estado fundamental
para a partícula confinada no intervalo
, onde
é a constante de normalização desconhecida. Ele pede duas coisas:
- Encontrar o valor de
. - Determinar a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo
.
Informações relevantes fornecidas ou implicadas:
- A função de onda vale
para e (partícula confinada no poço infinito entre e ). - A densidade de probabilidade é
. - A normalização exige que a probabilidade total seja
, ou seja a integral de sobre todo o espaço (aqui, de a ) deve ser .
Passo 2
Conceito de normalização (aula rápida): a função de onda deve satisfazer
Como a partícula está confinada entre
e
, isso vira
Aqui
porque
é real. Substituindo
obtemos a condição
Identidade útil (e por que ela funciona): use
pois isso transforma a integral de
numa integral que dá uma parte constante e uma parte com cosseno, fácil de integrar. A integral indefinida que vamos usar é
onde
é uma constante e
é a constante de integração. Essa fórmula vem diretamente de aplicar a identidade acima e integrar termo a termo.
Passo 3
Calcular
usando a normalização. Tomando
,
Avaliaremos as duas bordas:
- Em
: e . - Em
: e .
Portanto a integral vale
Inserindo na condição de normalização:
Escolhendo a fase convencional real e positiva, obtemos
(Se preferir, poderia tomar
; ambos representam a mesma densidade de probabilidade.)
Passo 4
Definição e observação sobre o intervalo pedido: a probabilidade de encontrar a partícula entre
e
é
No problema o intervalo pedido é
. Mas atenção: a função de onda é zero para
. Portanto, a integral efetiva é só de
até
. Em soma: a parte do intervalo entre
e
não contribui porque
lá.
Passo 5
Calcular a probabilidade pedida. Usando
,
Simplificando o fator fora da integral:
Usamos novamente a primitiva da Passo 3:
Avaliação das bordas:
- Em
: , → expressão . - Em
: , → expressão .
Subtract:
Agora multiplicando pelo fator externo:
Interpretando: metade da probabilidade total está no semiperíodo direito do poço. Isso também pode ser visto por simetria do quadrado da função de onda do estado fundamental.