(2,0 Pontos) Considere um sistema quântico cujo espaço de Hilbet é gerado por uma base ortonormal de 3 estados, |1\rangle,|2\rangle e |3\rangle, que são todos auto-estados degenerados de um observável D com auto-valores iguais a \delta. A atuação do hamiltoniano H do sistema nos estados da base é:
\begin{gathered} H|1>=\Lambda| 1>+\Delta|1>+\Gamma| 3> \\\ H|2>=\Omega| 2>+\Delta \mid 3> \\\ H|3>=\Omega| 1>+\Delta|2>+\Gamma| 3> \end{gathered}
onde \Omega, \Delta, \Gamma e \Lambda são constantes reais com dimensão de energia. Escreva a matriz que representa H na base descrita acima.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a matriz que representa o operador Hamiltoniano H na base ortonormal \{|1\rangle,|2\rangle,|3\rangle\}. As informações fornecidas (ações de H sobre os vetores da base) são, literalmente:
\begin{gathered} H|1\rangle=\Lambda|1\rangle+\Delta|1\rangle+\Gamma|3\rangle,\\[4pt] H|2\rangle=\Omega|2\rangle+\Delta|3\rangle,\\[4pt] H|3\rangle=\Omega|1\rangle+\Delta|2\rangle+\Gamma|3\rangle, \end{gathered}
onde \Omega,\Delta,\Gamma,\Lambda são constantes reais (energias). O objetivo é montar a matriz H nessa base.]

Passo 2

Recordando o que significa representar um operador por matriz numa base ortonormal: os elementos da matriz são
H_{ij}=\langle i|H|j\rangle,
onde i,j\in\{1,2,3\}. Na prática, se a expansão de H|j\rangle na base é
H|j\rangle = c_{1j}|1\rangle + c_{2j}|2\rangle + c_{3j}|3\rangle,
então a coluna j da matriz de H é a coluna com entradas c_{1j},c_{2j},c_{3j} (porque \langle i|k\rangle=\delta_{ik}).

Passo 3

Vamos identificar os coeficientes c_{ij} a partir das expressões dadas para H|1\rangle, H|2\rangle e H|3\rangle. Primeiro observe e simplifique a expressão de H|1\rangle:
H|1\rangle=\Lambda|1\rangle+\Delta|1\rangle+\Gamma|3\rangle=(\Lambda+\Delta)|1\rangle+0\cdot|2\rangle+\Gamma|3\rangle.
Portanto os coeficientes da coluna 1 são c_{11}=\Lambda+\Delta, c_{21}=0, c_{31}=\Gamma.

Passo 4

Agora para H|2\rangle a expressão dada é
H|2\rangle=\Omega|2\rangle+\Delta|3\rangle=0\cdot|1\rangle+\Omega|2\rangle+\Delta|3\rangle.
Logo os coeficientes da coluna 2 são c_{12}=0, c_{22}=\Omega, c_{32}=\Delta.

Passo 5

Para H|3\rangle a expressão é
H|3\rangle=\Omega|1\rangle+\Delta|2\rangle+\Gamma|3\rangle.
Assim os coeficientes da coluna 3 são c_{13}=\Omega, c_{23}=\Delta, c_{33}=\Gamma.

Passo 6

Agora montamos a matriz colocando em cada coluna j os coeficientes c_{1j},c_{2j},c_{3j}. Isso dá:
H=\begin{pmatrix} \Lambda+\Delta & 0 & \Omega\\[4pt] 0 & \Omega & \Delta\\[4pt] \Gamma & \Delta & \Gamma \end{pmatrix},
onde as linhas e colunas estão ordenadas pela base \{|1\rangle,|2\rangle,|3\rangle\} (linha/coluna 1 corresponde a |1\rangle, etc.).]

Resposta

\begin{pmatrix} \Lambda+\Delta & 0 & \Omega\\[4pt] 0 & \Omega & \Delta\\[4pt] \Gamma & \Delta & \Gamma \end{pmatrix}]

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