(1,0 Pontos) Construa o gráfico da posição inicial do fio considerando um fio de comprimento L=12 \mathrm{~m} e uma amplitude máxima A=0,4 \mathrm{~m} e determine a condição inicial u(0, x).

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a forma inicial de um fio de comprimento L=12,m que foi “pinçado” até uma altura máxima A=0,4,m, e a seguir escrever essa forma como condição inicial u(0,x). O conteúdo aqui é modelar a condição de deslocamento inicial de uma corda vibrante, que geralmente é triangular se o fio for puxado apenas até um ponto fixo (como no centro).

Passo 2

Quando a corda é pinçada no ponto médio x=L/2 com deslocamento máximo A, a forma inicial é uma linha reta de x=0 a x=L/2 subindo de 0 até A, e depois de x=L/2 a x=L descendo de A até 0. Os vértices principais são (0,0), \bigl(L/2,A\bigr) e (L,0).

Passo 3

Para traduzir esse triângulo em função de x, observe que na parte crescente (de 0 a L/2) a inclinação é
m_{\text{subida}} = \frac{A-0}{(L/2)-0} = \frac{2A}{L},
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u(0,x) = \frac{2A}{L}\,x, \quad 0 \le x \le \frac{L}{2}.
Na parte decrescente (de L/2 a L) a linha vai de (L/2,A) até (L,0), então a inclinação é negativa com valor -2A/L, e podemos escrever
u(0,x) = \frac{2A}{L}\,(L - x), \quad \frac{L}{2} \le x \le L.

Passo 4

Substituindo L=12,m e A=0,4,m, calculamos
\frac{2A}{L} = \frac{2\cdot 0,4}{12} = \frac{0,8}{12} = 0,066\overline{6}.
Assim a condição inicial fica
u(0,x)= \begin{cases} 0,066\overline{6}\;x, & 0 \le x \le 6,\\[6pt] 0,066\overline{6}\;(12 - x), & 6 \le x \le 12. \end{cases}]

Resposta

O gráfico de u(0,x) é um triângulo com vértices em (0,0), (6,0,4) e (12,0). A condição inicial é
u(0,x)= \begin{cases} 0{,}066\overline{6}\,x, & 0 \le x \le 6,\\[6pt] 0{,}066\overline{6}\,(12 - x), & 6 \le x \le 12. \end{cases}]

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