(2,0 PONTOS) Uma corda de comprimento L=2,0 \mathrm{~m}, densidade linear constante \mu=6,0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}, tem ambas as extremidades fixas. A tensão na corda pode ser controlada com precisão. Um gerador de ondas é acoplado a uma das extremidades e pode variar a frequência entre 100 Hz e 500 Hz . (a) Calcule a tensão mínima T_{\text {min }} necessária para que o quarto harmônico da corda ocorra exatamente a uma frequência de 400 Hz . (b) Com essa tensão mínima aplicada, escreva a equacão da onda estacionária correspondente ao quarto modo normal ( 4^{\circ} harmônico), assumindo uma

Passo 1

O enunciado trata de ondas estacionárias numa corda de comprimento L=2{,}0,m, densidade linear \mu=6{,}0\times10^{-3},kg/m e extremidades fixas. Queremos achar (a) a tensão mínima T_{\min} para que o quarto harmônico (modo n=4) tenha frequência exata de 400 Hz; (b) a forma da onda estacionária desse quarto modo, supondo uma amplitude arbitrária A.

Passo 2

Para modos normais em corda fixa em ambas as extremidades vale
f_n = \frac{n\,v}{2L},
onde n é o número do modo e v a velocidade de propagação. Para n=4 e f_4=400,Hz, isolamos v:
v = \frac{2L\,f_4}{n} = \frac{2\cdot2{,}0\,\text{m}\times400\,\text{Hz}}{4} = 400\;\text{m/s}.

Passo 3

Como v=\sqrt{T/\mu}, a tensão necessária é
T = \mu\,v^2 = (6{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{kg/m})\times(400\,\mathrm{m/s})^2 = 960\;\mathrm{N}.

Passo 4

No quarto modo normal a constante de onda é
k = \frac{n\pi}{L} = \frac{4\pi}{2{,}0} = 2\pi\;\mathrm{rad/m},
e a pulsação é
\omega = 2\pi f_4 = 2\pi\times400 = 800\pi\;\mathrm{rad/s}.
Assumindo amplitude A, a onda estacionária pode ser escrita como
y(x,t) = A\,\sin\bigl(kx\bigr)\,\cos\bigl(\omega t\bigr) = A\,\sin\bigl(2\pi x\bigr)\,\cos\bigl(800\pi\,t\bigr).

Resposta

(a) T_{\min}=960\;\mathrm{N}.
(b) y(x,t)=A\,\sin\bigl(2\pi x\bigr)\,\cos\bigl(800\pi\,t\bigr).

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