Calcule o número de estados microscópicos acessíveis a um sistema constituído por dois osciladores harmônicos quânticos, localizados mas independentes, com frequências fundamentais \omega_{0} e 2 \omega_{0}, respectivamente, e energia total E.

Passo 1

O enunciado pede o número de microestados acessíveis a dois osciladores harmônicos quânticos independentes, um com frequência \omega_{0} e outro com frequência 2\omega_{0}, cuja energia total seja E. Para resolver, vamos usar a quantização da energia de cada oscilador e, em seguida, contar as soluções inteiras não negativas que satisfazem a restrição de energia total.

Passo 2

Cada oscilador tem níveis de energia dados por
E_{1} = \bigl(n_{1} + \tfrac12\bigr)\hbar\omega_{0}, \qquad E_{2} = \bigl(n_{2} + \tfrac12\bigr)\hbar\,(2\omega_{0}),
onde n_{1},n_{2}=0,1,2,\dots.

Passo 3

A condição de energia total é
(n_{1} + \tfrac12)\hbar\omega_{0} + (n_{2} + \tfrac12)\,2\hbar\omega_{0} = E.

Passo 4

Dividindo ambos os lados por \hbar\omega_{0}, obtemos
n_{1} + 2\,n_{2} + \tfrac32 \;=\;\frac{E}{\hbar\omega_{0}}.
Definamos
\varepsilon = \frac{E}{\hbar\omega_{0}}, \qquad m = \varepsilon - \tfrac32.
Aqui m deve ser um inteiro não negativo (caso contrário não há estados com energia exatamente E). A equação torna-se
n_{1} + 2\,n_{2} = m,
com n_{1},n_{2}\ge0 inteiros.

Passo 5

Contamos agora o número de soluções (n_{1},n_{2}) dessa equação. Para cada valor de n_{2}=0,1,2,\dots,\lfloor m/2\rfloor há exatamente uma escolha de
n_{1} = m - 2\,n_{2}.
Logo o número de soluções é
\Omega(E) = \sum_{n_{2}=0}^{\lfloor m/2\rfloor} 1 = \bigl\lfloor\tfrac{m}{2}\bigr\rfloor + 1.

Resposta

Seja
m = \frac{E}{\hbar\omega_{0}} - \tfrac32
um inteiro não negativo. Então o número de microestados acessíveis é
\boxed{\Omega(E) \;=\;\bigl\lfloor\tfrac{m}{2}\bigr\rfloor + 1\,.}

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