(4 pontos) Uma corrente de alimentação fresca de 200 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} contém 10 \% em massa de soluto S (o restante é solvente inerte). Essa corrente é misturada a um reciclo de 300 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} (com composição igual à do filtrado) e alimenta um evaporador. No evaporador, o solvente puro é removido em forma de vapor, e a corrente líquida concentrada sai com 25 \% de S . Essa corrente é conduzida a um filtro, que produz uma torta com 80 \% de S (produto) e um filtrado líquido. O filtrado é dividido em duas partes: uma é reciclada e a outra é purgada. Sabe-se que a vazão da purga é de 40 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}. Determine:
a) A vazão da corrente concentrada que sai do evaporador (alimentação do filtro).
b) A vazão da torta produzżida.
c) A composição (fração mássica de S ) do filtrado (e, portanto, do reciclo e da purga).
d) A vazão de vapor removida no evaporador.
Obs.: Escreva as considerações feitas para a resolução deste problema. As considerações indicadas integram a avaliação e comporão a nota.

Passo 1

O enunciado pede que se determine quatro coisas a partir dos dados do processo:
(a) a vazão da corrente concentrada que sai do evaporador (alimentação do filtro);
(b) a vazão da torta (produto) produzida pelo filtro;
(c) a composição (fração mássica de S) do filtrado — que é igual à do reciclo e da purga;
(d) a vazão de vapor removida no evaporador.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Vazão da alimentação fresca: \;200\\ \mathrm{kg/h}.
  • Fração mássica de S na alimentação fresca: \;10\%, ou seja \;0{,}10.
  • Reciclo: \;300\\ \mathrm{kg/h}, com composição igual à do filtrado (desconhecida).
  • No evaporador: sai uma corrente líquida concentrada com \;25\% de S. Vou chamar sua vazão de L ( \mathrm{kg/h}). O vapor removido é solvente puro.
  • No filtro: a corrente líquida de alimentação ( L) é separada em torta (produto) e filtrado. A torta tem \;80\% de S.
  • O filtrado é dividido em reciclo ( 300\\ \mathrm{kg/h}) e purga ( 40\\ \mathrm{kg/h}). Logo a vazão total do filtrado é \;300+40=340\\ \mathrm{kg/h}.
  • A purga tem vazão \;40\\ \mathrm{kg/h} (dada).
  • Não há S no vapor (é solvente puro) — isso é explicitado no enunciado.
Variáveis que vou usar:
  • L: vazão da corrente concentrada que sai do evaporador ( \mathrm{kg/h}). (resposta a)
  • C: vazão da torta (produto) ( \mathrm{kg/h}). (resposta b)
  • x_f: fração mássica de S no filtrado (e, portanto, no reciclo e na purga). (resposta c)
  • V: vazão de vapor removida no evaporador ( \mathrm{kg/h}). (resposta d)

Passo 2

Aqui explico as hipóteses e a física/matemática que uso (essas considerações pedidas no enunciado):
  • Estado estacionário: vazões e composições são constantes no tempo. Então balanços de massa ficam simples (entradas = saídas).
  • Conservação de massa total e conservação de massa do soluto S serão aplicadas. Balanço de S é chave porque o vapor é somente solvente (logo S não sai no vapor).
  • A composição do reciclo é igual à do filtrado (dado), e a purga e reciclo são frações do filtrado; por isso a vazão do filtrado é conhecida: F_{\text{filtrado}}=300+40=340\\ \mathrm{kg/h}.
  • Vou montar equações lineares (balanços de massa total e de S) e resolvê‑las. Isso é o procedimento padrão em problemas de balanços de massa com reciclo/purga.
Pequena “aula” prática sobre balanço de massa que será usada:
  • Balanço total em um equipamento: soma das vazões que entram = soma das vazões que saem.
  • Balanço do soluto S: soma das vazões de S (vazão total \times fração mássica de S) que entram = soma das vazões de S que saem.
  • Exemplo simples: se entra uma corrente de 100\\ \mathrm{kg/h} com 10\% de S, a vazão de S que entra é \;100\times0{,}10 = 10\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 3

Calculemos primeiro quantidades conhecidas:
  • Vazão de S na alimentação fresca: \;200\times0{,}10=20\\ \mathrm{kg/h}.
  • Vazão total que entra no evaporador (fresca + reciclo): \;200+300=500\\ \mathrm{kg/h}.
  • Vazão do filtrado (já explicado): \;F_{\text{filtrado}}=300+40=340\\ \mathrm{kg/h}.
Agora relacionamentos entre variáveis:
  1. Balanço de massa no filtro (toda a corrente concentrada L sai dividida em torta C e filtrado 340):
L = C + 340.
  1. Balanço de S no filtro: a massa de S que entra no filtro é \;0{,}25L (porque o concentrado tem 25\% de S). Essa massa é repartida entre a torta ( 0{,}80C) e o filtrado ( x_f\cdot340). Logo:
0{,}25\,L = 0{,}80\,C + x_f\cdot340.
  1. Balanço total de S no sistema inteiro: a única entrada externa de S é pela alimentação fresca ( 20\\ \mathrm{kg/h}). As saídas externas de S são a torta e a purga (o vapor não carrega S). Portanto:
20 = 0{,}80\,C + x_f\cdot40.
(Esta equação é muito útil porque envolve somente quantidades observáveis e desconhecidas do filtro/purga.)
  1. Balanço de S no evaporador (alternativa à equação do sistema): a massa de S que entra no evaporador é a soma do S vindo da fresca ( 20) mais o S vindo no reciclo ( 300\,x_f). Essa massa sai toda na corrente concentrada: \;0{,}25L. Assim:
20 + 300\,x_f = 0{,}25\,L.
(As equações (2) e (4) são consistentes; usarei as mais convenientes para resolver.)
Resumo das equações chave que vamos resolver (só com as variáveis L,\;C,\;x_f):
\begin{cases} L = C + 340,\\[4pt] 20 = 0{,}80\,C + 40\,x_f,\\[4pt] 0{,}25\,L = 20 + 300\,x_f. \end{cases}]

Passo 4

Primeiro substituo C = L - 340 (da primeira equação) na equação do balanço de S do sistema:
20 = 0{,}80\,(L-340) + 40\,x_f.
Distribuindo:
20 = 0{,}80\,L - 0{,}80\times340 + 40\,x_f.
Calcule \;0{,}80\times340 = 272. Então:
20 = 0{,}80\,L - 272 + 40\,x_f.
Passando -272 para o lado esquerdo:
20 + 272 = 0{,}80\,L + 40\,x_f \quad\Rightarrow\quad 292 = 0{,}80\,L + 40\,x_f.
Chamemos essa equação de (A):
\text{(A)}\quad 292 = 0{,}80\,L + 40\,x_f.
A segunda equação útil é a do evaporador:
0{,}25\,L = 20 + 300\,x_f.
Chamemos essa de (B).
Queremos eliminar L. Uma maneira prática é multiplicar (B) por 3{,}2 (porque 0{,}25\times3{,}2 = 0{,}80) para igualar os coeficientes de L:
3{,}2\times(0{,}25\,L) = 3{,}2\times(20 + 300\,x_f)
0{,}80\,L = 64 + 960\,x_f.
Agora subtraio a equação (A) desta última:
(0{,}80\,L = 64 + 960\,x_f)\;-\;(0{,}80\,L = 292 - 40\,x_f)
( \;0{,}80L se cancela), ficando:
0 = (64 + 960\,x_f) - (292 - 40\,x_f).
Calcule o lado direito:
0 = 64 + 960\,x_f - 292 + 40\,x_f = (64-292) + (960+40)\,x_f = -228 + 1000\,x_f.
Então:
1000\,x_f = 228 \quad\Rightarrow\quad x_f = \frac{228}{1000} = 0{,}228.
Logo a fração mássica de S no filtrado (e no reciclo e na purga) é
x_f = 0{,}228 \;\text{(ou }22{,}8\%\text{)}.
Agora obtenho L usando (B):
0{,}25\,L = 20 + 300\cdot0{,}228 = 20 + 68{,}4 = 88{,}4.
Logo
L = \frac{88{,}4}{0{,}25} = 353{,}6\\ \mathrm{kg/h}.
E C = L - 340:
C = 353{,}6 - 340 = 13{,}6\\ \mathrm{kg/h}.
Finalmente a vazão de vapor V do evaporador vem do balanço total no evaporador:
\text{entradas} = \text{saídas} \quad\Rightarrow\quad 500 = L + V,í
portanto
V = 500 - 353{,}6 = 146{,}4\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 5

  1. Balanço de S global: entrada externa 20\\ \mathrm{kg/h}. Saídas: torta 0{,}80\cdot13{,}6=10{,}88\\ \mathrm{kg/h} e purga 40\cdot0{,}228=9{,}12\\ \mathrm{kg/h}. Soma 10{,}88+9{,}12=20\\ \mathrm{kg/h} — OK.
  2. Balanço de massa total: entradas externas \;200 (fresca) mais o reciclo é interno, mas no evaporador tínhamos 500 entrando e obtivemos L+V=353{,}6+146{,}4=500 — OK.
  3. Balanço de S no filtro: entrada 0{,}25\cdot353{,}6=88{,}4\\ \mathrm{kg/h} de S (esta é a massa de S, lembrando que o fator 0{,}25 aplicado a L dá massa de S — atenção: neste contexto 0{,}25L já é em kg/h). Saídas: torta 0{,}80\cdot13{,}6=10{,}88 e filtrado 0{,}228\cdot340=77{,}52. Soma 10{,}88+77{,}52=88{,}4 — OK. (Nota: aqui a unidade está consistente porque 0{,}25L foi calculado como 88{,}4\\ \mathrm{kg/h} de S.)
Todas as checagens batem, portanto os resultados são coerentes.

Passo 6

  • Identifique correntes externas (aquelas que realmente entram ou saem do sistema global). Reciclos são internos: tratá‑los explicitamente, mas lembre que só a purga e o produto são saídas externas.
  • Faça dois tipos de balanços: total e do componente de interesse (aqui S); frequentemente só o balanço do componente resolve o problema.
  • Sempre rotule variáveis ( L,\;C,\;x_f,\;V) e escreva equações simples antes de manipular.
  • Verifique por somas (entradas = saídas) e verifique se as unidades batem. Isso pega erros bobos.

Resposta

(a) L = 353{,}6\\ \mathrm{kg/h}
(b) C = 13{,}6\\ \mathrm{kg/h}
(c) x_f = 0{,}228 (fração mássica de S; ou 22{,}8\%)
(d) V = 146{,}4\\ \mathrm{kg/h}

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