(3,5 pontos) Um sólido úmido contendo 30,0 \% em massa de água é alimentado continuamente em um secador a uma taxa de 800 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}. No secador, ocorre a remoção de água até que o sólido final apresente, no máximo, 6,0 \% de água em massa. O ar utilizado no secador tem umidade de entrada de 0,50 \mathrm{~kg} de água / \mathrm{kg} de ar seco e umidade de saída limitada a 2,0 \mathrm{~kg} de água / \mathrm{kg} de ar seco. Pede-se:
a) A porcentagem de remoção de água do sólido original em relação à água inicial.
b) A vazão mássica de ar seco necessária no secador (em kg/h).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados (pegos do enunciado):
  • Taxa de alimentação do sólido úmido: \dot{m}_{\text{feed}}=800\\ \mathrm{kg/h}.
  • Umidade em massa do sólido de entrada: 30{,}0\% (isto é, 0{,}300 em fração de massa).
  • Umidade máxima permitida do sólido de saída: 6{,}0\% (isto é, 0{,}060 em fração de massa).
  • Umidade absoluta (conteúdo de água por massa de ar seco) na entrada do ar: y_{\text{in}}=0{,}50\\ \mathrm{kg\\ água/kg\\ ar\\ seco}á.
  • Umidade absoluta na saída do ar (limite): y_{\text{out}}=2{,}0\\ \mathrm{kg\\ água/kg\\ ar\\ seco}á.
O que o enunciado pede:
(a) A porcentagem de remoção de água do sólido original em relação à água inicial (isto é, \% de água retirada sobre a massa de água inicial).
(b) A vazão mássica de ar seco necessária no secador, em \mathrm{kg/h}.
Observação útil que vamos usar: o sólido contém uma parte água e uma parte sólidos secos; durante a secagem os sólidos secos não se perdem (assumimos que permanecem), só muda a massa de água. O ar absorve exatamente a água removida do sólido (balanceamento de massas).

Passo 2

Calcular as massas de sólidos secos e de água na alimentação.
Definições e fórmulas:
  • Fração mássica de água na alimentação: x_{\text{w,in}}=0{,}300.
  • Massa de água na alimentação:
\dot{m}_{\text{w,in}} = x_{\text{w,in}}\;\dot{m}_{\text{feed}}.
  • Massa de sólidos secos (invariável no processo):
\dot{m}_{\text{ds}} = \dot{m}_{\text{feed}} - \dot{m}_{\text{w,in}} = (1-x_{\text{w,in}})\,\dot{m}_{\text{feed}}.
Cálculo numérico:
\dot{m}_{\text{w,in}} = 0{,}300\cdot 800 = 240\\ \mathrm{kg/h}.
\dot{m}_{\text{ds}} = (1-0{,}300)\cdot 800 = 0{,}700\cdot 800 = 560\\ \mathrm{kg/h}.
Explicação didática: aqui se separa a massa total em “água” e “sólidos secos”. Os sólidos secos não evaporam (assumimos), então sua massa permanece 560\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 3

Encontrar a massa de água no sólido final a partir da umidade máxima permitida.
Seja \dot{m}_{\text{w,out}} a massa de água no produto seco final (kg/h). A umidade em massa final dada é x_{\text{w,out}}=0{,}060. Pela definição de fração mássica:
x_{\text{w,out}}=\frac{\dot{m}_{\text{w,out}}}{\dot{m}_{\text{ds}}+\dot{m}_{\text{w,out}}}.
Vamos resolver esta equação para \dot{m}_{\text{w,out}}.
Desenvolvimento algébrico:
\dot{m}_{\text{w,out}} = x_{\text{w,out}}\left(\dot{m}_{\text{ds}}+\dot{m}_{\text{w,out}}\right).
\dot{m}_{\text{w,out}} = x_{\text{w,out}}\dot{m}_{\text{ds}} + x_{\text{w,out}}\dot{m}_{\text{w,out}}.
\dot{m}_{\text{w,out}}\left(1 - x_{\text{w,out}}\right) = x_{\text{w,out}}\dot{m}_{\text{ds}}.
\dot{m}_{\text{w,out}} = \frac{x_{\text{w,out}}\dot{m}_{\text{ds}}}{1 - x_{\text{w,out}}}.
Substituindo números:
\dot{m}_{\text{w,out}} = \frac{0{,}060\cdot 560}{1-0{,}060} = \frac{33{,}6}{0{,}94} = 35{,}744680851\\ \mathrm{kg/h}.
Comentário: a fórmula acima é uma forma prática — dado os sólidos secos e a umidade final em fração, encontra-se diretamente a massa de água que fica no produto.

Passo 4

Calcular a massa de água removida e a porcentagem de remoção relativa à água inicial.
Massa de água removida:
\dot{m}_{\text{rem}} = \dot{m}_{\text{w,in}} - \dot{m}_{\text{w,out}}.
Substituindo:
\dot{m}_{\text{rem}} = 240 - 35{,}744680851 = 204{,}255319149\\ \mathrm{kg/h}.
Porcentagem de remoção em relação à água inicial:
\%\\ \text{remoção} = \frac{\dot{m}_{\text{rem}}}{\dot{m}_{\text{w,in}}}\times 100\%.çã
\%\\ \text{remoção} = \frac{204{,}255319149}{240}\times 100\% = 85{,}106383\%\\ (\text{aprox.}).çã
Interpretação simples: de 240\\ \mathrm{kg/h} de água entrantes, restam cerca de 35{,}74\\ \mathrm{kg/h} no sólido final; o restante foi evaporado.

Passo 5

Fazer o balanço de massa de água no par ar–produto para obter a vazão de ar seco necessária.
Conceito didático: a água removida do sólido é absorvida pelo ar. A umidade absoluta (conteúdo de água por massa de ar seco) do ar aumenta de y_{\text{in}} para y_{\text{out}}. Se \dot{m}_{\text{a}} é a vazão mássica de ar seco (kg ar seco/h), então a água ganhada pelo ar é:
\dot{m}_{\text{a}}\left(y_{\text{out}}-y_{\text{in}}\right) = \dot{m}_{\text{rem}}.
Logo,
\dot{m}_{\text{a}} = \frac{\dot{m}_{\text{rem}}}{y_{\text{out}}-y_{\text{in}}}.
Explicação: y tem unidades \mathrm{kg\\ água/kg\\ ar\\ seco}á. Multiplicando por \dot{m}_{\text{a}} (kg ar seco/h) dá kg água/h que o ar carregou.

Passo 6

Cálculo numérico da vazão de ar seco.
Diferença de umidade do ar:
y_{\text{out}}-y_{\text{in}} = 2{,}0 - 0{,}50 = 1{,}5\\ \mathrm{kg\\ água/kg\\ ar\\ seco}.á
Agora:
\dot{m}_{\text{a}} = \frac{204{,}255319149}{1{,}5} = 136{,}170212766\\ \mathrm{kg\\ ar\\ seco/h}.
Arredondando com precisão prática, \dot{m}_{\text{a}}\approx 136{,}17\\ \mathrm{kg/h} (de ar seco).

Passo 7

Resumo final e observações práticas (rápidas, para te dar confiança):
  • A metodologia usada foi conservar massa de água e massa de sólidos secos; é a técnica padrão para esses problemas de secagem.
  • Mantive todas as contas explícitas para você poder reproduzir à mão na prova. Se quiser, eu te mostro os mesmos cálculos com arredondamentos diferentes (por exemplo, 3 algarismos significativos) — manda ver que eu ajusto.

Resposta

(a) 85{,}11\% (aprox.)
(b) \dot{m}_{\text{a}}=136{,}17\\ \mathrm{kg/h}

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