Em quais pontos da curva y=\operatorname{sen} x+\cos x, 0 \leqslant x \leqslant 2 \pi, a reta tangente é horizontal?

Passo 1

O enunciado dá a curva y=\sin x+\cos x no intervalo 0\leqslant x\leqslant 2\pi e pergunta: em quais pontos dessa curva a reta tangente é horizontal?
Informações importantes fornecidas:
\text{função: }y=\sin x+\cos x,\qquad \text{intervalo: }0\leqslant x\leqslant 2\pi.çã
A tarefa é achar os pontos (ou seja, as coordenadas x e y) onde a tangente ao gráfico é horizontal.

Passo 2

O que significa “reta tangente horizontal”?
  • A reta tangente em um ponto tem inclinação igual à derivada \dfrac{dy}{dx} da função naquele ponto.
  • Se a tangente é horizontal, a inclinação é zero. Logo, procuramos os pontos onde
\frac{dy}{dx}=0.
Aqui vou explicar rapidamente as regras de derivação que vamos usar: a derivada de \sin x é \cos x e a derivada de \cos x é -\sin x. Essas são fórmulas básicas de derivadas para funções trigonométricas; cada uma dá a taxa de variação instantânea da função em relação a x.

Passo 3

Calculemos a derivada da função termo a termo:
y=\sin x+\cos x \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\cos x - \sin x.
Expliquei: derivei \sin x dando \cos x e derivei \cos x dando -\sin x.

Passo 4

Agora igualamos a derivada a zero para achar os pontos críticos:
\cos x - \sin x = 0.
Uma maneira simples de resolver isso é isolar a tangente. Podemos reescrever como
\cos x = \sin x.
Dividindo ambos os lados por \cos x (válido quando \cos x\neq0; se \cos x=0 verificamos separadamente), obtemos
1 = \tan x \quad\Longrightarrow\quad \tan x = 1.
Verificação do caso \cos x=0: se \cos x=0 então \cos x-\sin x=-\sin x. Para ser zero precisaríamos de \sin x=0 simultaneamente, o que nunca ocorre onde \cos x=0. Portanto não há solução extra aí.

Passo 5

As soluções gerais de \tan x = 1 são
x = \frac{\pi}{4} + k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Agora restringimos ao intervalo 0\leqslant x\leqslant 2\pi. Tomando k=0 obtemos x=\tfrac{\pi}{4}. Tomando k=1 obtemos x=\tfrac{\pi}{4}+\pi=\tfrac{5\pi}{4}. Para k=2 já é maior que 2\pi e para k=-1 fica negativo. Portanto as abscissas desejadas no intervalo são
x=\frac{\pi}{4}\quad\text{e}\quad x=\frac{5\pi}{4}.

Passo 6

Agora calculemos as ordenadas correspondentes y=\sin x+\cos x nesses x:
Para x=\dfrac{\pi}{4}:
\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},
logo
y\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.
Para x=\dfrac{5\pi}{4}:
\sin\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2},
logo
y\!\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}.

Passo 7

Concluímos que, dentro do intervalo dado, os únicos pontos onde a reta tangente é horizontal são os dois pares de coordenadas que acabamos de calcular. Mantenha a calma: o processo foi só derivar, igualar a zero, resolver a equação trigonométrica e calcular as ordenadas — passos diretos que caem muito em prova.

Resposta

\left(\dfrac{\pi}{4},\sqrt{2}\right)
\left(\dfrac{5\pi}{4},-\sqrt{2}\right)

Exercícios relacionados