Em quais pontos da curva
, a reta tangente é horizontal?
Passo 1
O enunciado dá a curva
no intervalo
e pergunta: em quais pontos dessa curva a reta tangente é horizontal?
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
A tarefa é achar os pontos (ou seja, as coordenadas
e
) onde a tangente ao gráfico é horizontal.
Passo 2
O que significa “reta tangente horizontal”?
- A reta tangente em um ponto tem inclinação igual à derivada
da função naquele ponto. - Se a tangente é horizontal, a inclinação é zero. Logo, procuramos os pontos onde
Aqui vou explicar rapidamente as regras de derivação que vamos usar: a derivada de
é
e a derivada de
é
. Essas são fórmulas básicas de derivadas para funções trigonométricas; cada uma dá a taxa de variação instantânea da função em relação a
.
Passo 3
Calculemos a derivada da função termo a termo:
Expliquei: derivei
dando
e derivei
dando
.
Passo 4
Agora igualamos a derivada a zero para achar os pontos críticos:
Uma maneira simples de resolver isso é isolar a tangente. Podemos reescrever como
Dividindo ambos os lados por
(válido quando
; se
verificamos separadamente), obtemos
Verificação do caso
: se
então
. Para ser zero precisaríamos de
simultaneamente, o que nunca ocorre onde
. Portanto não há solução extra aí.
Passo 5
As soluções gerais de
são
Agora restringimos ao intervalo
. Tomando
obtemos
. Tomando
obtemos
. Para
já é maior que
e para
fica negativo. Portanto as abscissas desejadas no intervalo são
Passo 6
Agora calculemos as ordenadas correspondentes
nesses
:
Para
:
logo
Para
:
logo
Passo 7
Concluímos que, dentro do intervalo dado, os únicos pontos onde a reta tangente é horizontal são os dois pares de coordenadas que acabamos de calcular. Mantenha a calma: o processo foi só derivar, igualar a zero, resolver a equação trigonométrica e calcular as ordenadas — passos diretos que caem muito em prova.