Encontre, em cada um dos ítens abaixo,
, onde
é dada implicitamente pelas equações abaixo:
Nos correspondentes itens do exercício acima, encontre o valor de
, onde:
Nos correspondentes itens do exercício acima, encontre o valor de
Passo 1
O enunciado pede, para cada item, calcular
quando
é dada implicitamente por uma equação (ou várias equações não apresentadas aqui) e, em cada item, avaliar esse derivado em
onde
. As informações relevantes que eu tenho são: o objetivo (achar
e depois seu valor em
) e que as equações que definem
implicitamente deveriam ter sido listadas nos “itens abaixo”. Essas equações não foram fornecidas pelo enunciado que você me enviou. Portanto, não há dados explícitos para calcular valores numéricos específicos de
.
Passo 2
Vou ensinar o método geral que você deve aplicar a cada item do exercício (passo a passo bem mastigado). Suponha que a equação implícita dada no item seja
onde
é uma função conhecida de
e
. Isso é uma forma padrão de escrever equações implícitas: todas as partes que envolvem
e
estão agrupadas em
.
O procedimento para obter
é:
- Diferencie ambos os lados da igualdade
em relação a . - Use a regra da cadeia ao derivar termos que envolvem
: sempre que aparecer você multiplica pela derivada . - Reorganize a expressão para isolar
.
Passando para as fórmulas, aplicando a diferenciação:
Aqui
significa a derivada parcial de
tratando
como constante, e
é a derivada parcial de
tratando
como constante. Da relação acima isolamos
:
desde que
no ponto considerado (se for zero, há que analisar mais, pois pode haver vertical tangente ou falha da regra).
Passo 3
Explicando a regra da cadeia de forma bem concreta: se tiver um termo como
, ao derivar em relação a
você faz
Ou seja, toda vez que derivar algo que depende de
aparece um fator extra
. Por isso, ao derivar
aparece o termo
.
Passo 4
Como aplicar isso na prática para avaliar
em
(checklist que você pode seguir na prova):
- Pegue a equação implícita do item: escreva-a como
. - Encontre os valores de
correspondentes a : substitua em e resolva para . Podem surgir várias soluções . - Calcule
e simbolicamente. - Use a fórmula
e substitua
e cada solução
encontrada no passo 2 para obter
.
5. Verifique se . Se for zero, a regra acima não se aplica diretamente e você precisa analisar a situação (por exemplo, expandir em série, resolver explicitamente para
ou verificar tangência vertical).
5. Verifique se
Passo 5
Exemplo concreto para fixar (faça isso na prova se aparecer algo parecido): considere a circunferência
- Diferencio:
e . - Aplico a fórmula:
- Para avaliar em
, primeiro encontro resolvendo . - Logo
para ambas as soluções
ou
. Resultado:
. Esse exemplo mostra o fluxo completo: primeiro achar
, depois aplicar a fórmula e substituir.
Passo 6
Resumo e conclusão: eu não posso fornecer os valores específicos de
para os itens do seu exercício porque as equações implícitas que definem
não foram enviadas. Se você quiser, pode me mandar cada equação (ou a lista completa de itens) e eu aplico o procedimento acima passo a passo para calcular
e em seguida avaliar em
. Enquanto isso, você já tem o método detalhado e um exemplo pronto para aplicar na prova — siga o checklist do Passo 4.
Resposta
Não é possível determinar
porque as equações implícitas dos itens não foram fornecidas.