Encontre, em cada um dos ítens abaixo, \frac{d y}{d x}, onde y=y(x) é dada implicitamente pelas equações abaixo:
Nos correspondentes itens do exercício acima, encontre o valor de \frac{d y}{d x}\left(x_{0}\right), onde:
x=0

Passo 1

O enunciado pede, para cada item, calcular \dfrac{dy}{dx} quando y=y(x) é dada implicitamente por uma equação (ou várias equações não apresentadas aqui) e, em cada item, avaliar esse derivado em x_{0} onde x_{0}=0. As informações relevantes que eu tenho são: o objetivo (achar \dfrac{dy}{dx} e depois seu valor em x=0) e que as equações que definem y implicitamente deveriam ter sido listadas nos “itens abaixo”. Essas equações não foram fornecidas pelo enunciado que você me enviou. Portanto, não há dados explícitos para calcular valores numéricos específicos de \dfrac{dy}{dx}(0).

Passo 2

Vou ensinar o método geral que você deve aplicar a cada item do exercício (passo a passo bem mastigado). Suponha que a equação implícita dada no item seja
F(x,y)=0,
onde F é uma função conhecida de x e y. Isso é uma forma padrão de escrever equações implícitas: todas as partes que envolvem x e y estão agrupadas em F(x,y).
O procedimento para obter \dfrac{dy}{dx} é:
  1. Diferencie ambos os lados da igualdade \;F(x,y(x))=0\; em relação a x.
  2. Use a regra da cadeia ao derivar termos que envolvem y(x): sempre que aparecer y você multiplica pela derivada y'(x)=\dfrac{dy}{dx}.
  3. Reorganize a expressão para isolar y'(x).
Passando para as fórmulas, aplicando a diferenciação:
\frac{d}{dx}F(x,y(x)) = \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y}\,y'(x) = 0.
Aqui \dfrac{\partial F}{\partial x} significa a derivada parcial de F tratando y como constante, e \dfrac{\partial F}{\partial y} é a derivada parcial de F tratando x como constante. Da relação acima isolamos y'(x):
y'(x)= -\frac{\dfrac{\partial F}{\partial x}}{\dfrac{\partial F}{\partial y}},
desde que \dfrac{\partial F}{\partial y}\neq 0 no ponto considerado (se for zero, há que analisar mais, pois pode haver vertical tangente ou falha da regra).

Passo 3

Explicando a regra da cadeia de forma bem concreta: se tiver um termo como g(x)\,h(y(x)), ao derivar em relação a x você faz
\frac{d}{dx}\big(g(x)h(y(x))\big) = g'(x)h(y(x)) + g(x)h'(y(x))\cdot y'(x).
Ou seja, toda vez que derivar algo que depende de y aparece um fator extra y'(x). Por isso, ao derivar F(x,y(x)) aparece o termo \dfrac{\partial F}{\partial y}y'(x).

Passo 4

Como aplicar isso na prática para avaliar \dfrac{dy}{dx} em x_{0}=0 (checklist que você pode seguir na prova):
  1. Pegue a equação implícita do item: escreva-a como F(x,y)=0.
  2. Encontre os valores de y correspondentes a x=0: substitua x=0 em F(0,y)=0 e resolva para y. Podem surgir várias soluções y(0)=y_{1},y_{2},\dots.
  3. Calcule \dfrac{\partial F}{\partial x}(x,y) e \dfrac{\partial F}{\partial y}(x,y) simbolicamente.
  4. Use a fórmula
y'(x)= -\frac{\dfrac{\partial F}{\partial x}(x,y)}{\dfrac{\partial F}{\partial y}(x,y)}
e substitua x=0 e cada solução y(0) encontrada no passo 2 para obter \dfrac{dy}{dx}(0).
5. Verifique se \dfrac{\partial F}{\partial y}(0,y(0))\neq 0. Se for zero, a regra acima não se aplica diretamente e você precisa analisar a situação (por exemplo, expandir em série, resolver explicitamente para y ou verificar tangência vertical).

Passo 5

Exemplo concreto para fixar (faça isso na prova se aparecer algo parecido): considere a circunferência
F(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0.
  1. Diferencio: \dfrac{\partial F}{\partial x}=2x e \dfrac{\partial F}{\partial y}=2y.
  2. Aplico a fórmula:
y' = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}.
  1. Para avaliar em x=0, primeiro encontro y(0) resolvendo F(0,y)=0\Rightarrow 0+y^{2}-1=0\Rightarrow y=\pm 1.
  2. Logo
y'(0)= -\frac{0}{y(0)} = 0,
para ambas as soluções y(0)=1 ou y(0)=-1. Resultado: \dfrac{dy}{dx}(0)=0. Esse exemplo mostra o fluxo completo: primeiro achar y(0), depois aplicar a fórmula e substituir.

Passo 6

Resumo e conclusão: eu não posso fornecer os valores específicos de \dfrac{dy}{dx}(0) para os itens do seu exercício porque as equações implícitas que definem y não foram enviadas. Se você quiser, pode me mandar cada equação (ou a lista completa de itens) e eu aplico o procedimento acima passo a passo para calcular \dfrac{dy}{dx} e em seguida avaliar em x=0. Enquanto isso, você já tem o método detalhado e um exemplo pronto para aplicar na prova — siga o checklist do Passo 4.

Resposta

Não é possível determinar \dfrac{dy}{dx}(0) porque as equações implícitas dos itens não foram fornecidas.

Exercícios relacionados