Encontre, em cada um dos ítens abaixo, \frac{d y}{d x}, onde y=y(x) é dada implicitamente pelas equações abaixo:
Nos correspondentes itens do exercício acima, encontre o valor de \frac{d y}{d x}\left(x_{0}\right), onde:
x_{0}=-2

Passo 1

O enunciado pede, para cada item, que a gente encontre \frac{dy}{dx} quando y=y(x) é dada implicitamente por certas equações; e, nos correspondentes itens, que calcule o valor de \frac{dy}{dx} em x_{0} = -2.\n
Informações fornecidas: nenhuma equação implícita foi enviada no seu texto — só veio o pedido genérico e o valor \,x_{0}=-2.\n
Perguntas explícitas que o enunciado faz (resumindo): encontrar \frac{dy}{dx} para cada equação implícita dada e avaliar esse derivado em \,x_{0}=-2.

Passo 2

O que está faltando e por que isso impede resolver o problema: para calcular \frac{dy}{dx} de uma relação implícita é imprescindível ter a própria equação (ou as equações) que relacionam x e y. Além disso, para avaliar \frac{dy}{dx} em x_{0}=-2 precisamos saber qual(is) valor(es) de y correspondem a x=-2 (ou seja, os pontos (x_{0},y_{0}) que pertencem à curva). Sem a(s) equação(ões) e sem os y_{0} não há como dar um valor numérico para \frac{dy}{dx}(-2).

Passo 3

Aula rápida e prática sobre o método que se usa em provas (diferença entre saber o método e ter dados): método padrão de diferenciação implícita.
Se uma curva é dada por uma relação \,F(x,y)=0 (isso é a forma geral de uma equação implícita), a maneira eficiente e elegante de obter \dfrac{dy}{dx} é diferenciar ambos os lados em relação a x, tratando y como função de x (ou seja, usando a regra da cadeia sempre que derivarmos uma expressão que contenha y).
Ao diferenciar obtemos a relação
\frac{d}{dx}F(x,y(x)) = 0.
Pela regra da diferenciação de funções de duas variáveis (regra da cadeia),
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y) + \frac{\partial F}{\partial y}(x,y)\cdot \frac{dy}{dx} = 0.
Isolando \dfrac{dy}{dx} vem a fórmula prática:
\frac{dy}{dx} = -\,\frac{\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}(x,y)}{\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}(x,y)}.
Aqui \displaystyle \frac{\partial F}{\partial x} é a derivada parcial de F em relação a x (tratando y como constante) e \displaystyle \frac{\partial F}{\partial y} é a derivada parcial de F em relação a y (tratando x como constante). Essa fórmula é exatamente o que você costuma usar em provas, porque evita ter que expandir passo a passo toda a regra da cadeia para cada termo.

Passo 4

Passo a passo operacional (o que você faria na prova, item a item):
  1. Identifique a função F(x,y) de modo que a equação implícita seja F(x,y)=0.
  2. Calcule simbolicamente \displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}(x,y) e \displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}(x,y). Expliquei acima o que cada uma significa.
  3. Escreva \displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)} (uso a notação F_x e F_y para as parciais).
  4. Para avaliar em x_{0}=-2: substitua x=-2 na equação original F(x,y)=0 e resolva para y. Pode haver nenhuma, uma ou várias soluções y_{0}.
  5. Para cada solução y_{0} calculada, substitua (x,y)=( -2,y_{0}) na expressão de \dfrac{dy}{dx}. Se F_y(-2,y_{0})=0 então a derivada pode ser indefinida (possível tangente vertical) e deve-se analisar a situação com cuidado.
  6. Informe os valores numéricos de \dfrac{dy}{dx}(-2) para cada ponto ( -2,y_{0}) encontrado.

Passo 5

Exemplo concreto, bem mastigado, para fixar (faça isso na prova se faltar confiança):
Considere a circunferência \;x^{2}+y^{2}-4=0. Aqui F(x,y)=x^{2}+y^{2}-4.
Calcule as parciais:
F_x(x,y)=2x,\qquad F_y(x,y)=2y.
Aplique a fórmula:
\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}.
Agora avalie em x_{0}=-2. Primeiro encontre y resolvendo (-2)^{2}+y^{2}-4=0 \Rightarrow 4+y^{2}-4=0 \Rightarrow y^{2}=0 \Rightarrow y=0. Então o ponto é (-2,0).
Substituindo na fórmula dá \dfrac{dy}{dx}(-2,0) = -\dfrac{-2}{0}, que não é um número: divisão por zero. Interpretação geométrica: a curva tem tangente vertical em (-2,0), logo a derivada (como número real) é indefinida/infinita. Esse tipo de análise (resolver para y em x_{0} e verificar o denominador) é exatamente o que eu faria para qualquer equação implícita na prova.

Passo 6

Resumo e o que eu preciso para dar a resposta numérica pedida por você: para cada item do seu exercício eu preciso da respectiva equação implícita F(x,y)=0. Com ela eu aplico os passos acima, encontro a expressão simbólica de \dfrac{dy}{dx}, resolvo F(-2,y)=0 para obter os possíveis y_{0} e então calculo \dfrac{dy}{dx}(-2) em cada ponto. Sem as equações não é possível fornecer os valores numéricos pedidos.

Resposta

Não é possível determinar \dfrac{dy}{dx}(-2) porque as equações implícitas (os itens do exercício) não foram fornecidas; além disso, seria necessário conhecer os valores de y correspondentes a x_{0}=-2 para avaliar o derivado.

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