Encontre, em cada um dos ítens abaixo,
, onde
é dada implicitamente pelas equações abaixo:
Nos correspondentes itens do exercício acima, encontre o valor de
, onde:
Nos correspondentes itens do exercício acima, encontre o valor de
Passo 1
O enunciado pede, para cada item, que a gente encontre
quando
é dada implicitamente por certas equações; e, nos correspondentes itens, que calcule o valor de
em
.\n
Informações fornecidas: nenhuma equação implícita foi enviada no seu texto — só veio o pedido genérico e o valor .\n
Perguntas explícitas que o enunciado faz (resumindo): encontrar para cada equação implícita dada e avaliar esse derivado em
.
Informações fornecidas: nenhuma equação implícita foi enviada no seu texto — só veio o pedido genérico e o valor
Perguntas explícitas que o enunciado faz (resumindo): encontrar
Passo 2
O que está faltando e por que isso impede resolver o problema: para calcular
de uma relação implícita é imprescindível ter a própria equação (ou as equações) que relacionam
e
. Além disso, para avaliar
em
precisamos saber qual(is) valor(es) de
correspondem a
(ou seja, os pontos
que pertencem à curva). Sem a(s) equação(ões) e sem os
não há como dar um valor numérico para
.
Passo 3
Aula rápida e prática sobre o método que se usa em provas (diferença entre saber o método e ter dados): método padrão de diferenciação implícita.
Se uma curva é dada por uma relação
(isso é a forma geral de uma equação implícita), a maneira eficiente e elegante de obter
é diferenciar ambos os lados em relação a
, tratando
como função de
(ou seja, usando a regra da cadeia sempre que derivarmos uma expressão que contenha
).
Ao diferenciar obtemos a relação
Pela regra da diferenciação de funções de duas variáveis (regra da cadeia),
Isolando
vem a fórmula prática:
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante) e
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante). Essa fórmula é exatamente o que você costuma usar em provas, porque evita ter que expandir passo a passo toda a regra da cadeia para cada termo.
Passo 4
Passo a passo operacional (o que você faria na prova, item a item):
-
Identifique a função
de modo que a equação implícita seja . -
Calcule simbolicamente
e . Expliquei acima o que cada uma significa. -
Escreva
(uso a notação e para as parciais). -
Para avaliar em
: substitua na equação original e resolva para . Pode haver nenhuma, uma ou várias soluções . -
Para cada solução
calculada, substitua na expressão de . Se então a derivada pode ser indefinida (possível tangente vertical) e deve-se analisar a situação com cuidado. -
Informe os valores numéricos de
para cada ponto encontrado.
Passo 5
Exemplo concreto, bem mastigado, para fixar (faça isso na prova se faltar confiança):
Considere a circunferência
. Aqui
.
Calcule as parciais:
Aplique a fórmula:
Agora avalie em
. Primeiro encontre
resolvendo
Então o ponto é
.
Substituindo na fórmula dá
, que não é um número: divisão por zero. Interpretação geométrica: a curva tem tangente vertical em
, logo a derivada (como número real) é indefinida/infinita. Esse tipo de análise (resolver para
em
e verificar o denominador) é exatamente o que eu faria para qualquer equação implícita na prova.
Passo 6
Resumo e o que eu preciso para dar a resposta numérica pedida por você: para cada item do seu exercício eu preciso da respectiva equação implícita
. Com ela eu aplico os passos acima, encontro a expressão simbólica de
, resolvo
para obter os possíveis
e então calculo
em cada ponto. Sem as equações não é possível fornecer os valores numéricos pedidos.
Resposta
Não é possível determinar
porque as equações implícitas (os itens do exercício) não foram fornecidas; além disso, seria necessário conhecer os valores de
correspondentes a
para avaliar o derivado.