(2,0 pontos) Dada a função
sem utilizar a regra de L’Hospital:
(a) Determine
f(0) .
(b) Calcule
lim x 0^- f(x) .
© Calcule
lim x 0^+ f(x) .
(d) Determine
lim x 0 f(x) , caso exista. Se não existir, justifique.
(e) A função dada é contínua em
x=0 ? Justifique.
(a) Determine
(b) Calcule
© Calcule
(d) Determine
(e) A função dada é contínua em
Passo 1
O enunciado dá uma função por partes
e pede (a) o valor de f(0), (b) o limite pela esquerda em 0, © o limite pela direita em 0, (d) o limite em 0, e (e) verificar continuidade em x=0. Para isso vamos usar definição de limite, limite notável
limuto0sin uu=1 e substituição direta.
Passo 2
Pelo enunciado, quando
x=0 definimos
Passo 3
Para calcular o limite pela esquerda usamos
pois aplicamos o limite notável
limuto0sin uu=1 com
u=2x .
Passo 4
Para o limite pela direita aplicamos substituição direta em
3+e^x2 :
Passo 5
Como os limites laterais são iguais (ambos valem 2), temos
Passo 6
A função é contínua em
x=0 se e somente se
limxto0f(x)=f(0) . Como ambos valem 2, concluímos que f é contínua em 0.
Resposta
(a) f(0)=2; (b)
limxto0^-f(x)=2 ; ©
limxto0^+f(x)=2 ; (d)
limxto0f(x)=2 ; (e) Sim, f é contínua em x=0.