(2,0 pontos) Dada a função sen 2 xx, & se x<0 2, & se x=0 e o ponto de abscissa x=0, pede-se, 3+e^x2, & se x>0 sem utilizar a regra de L’Hospital:
(a) Determine f(0).
(b) Calcule lim x 0^- f(x).
© Calcule lim x 0^+ f(x).
(d) Determine lim x 0 f(x), caso exista. Se não existir, justifique.
(e) A função dada é contínua em x=0 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes
f(x)= sin 2xx,&x<0, 2,&x=0, 3+e^x2,&x>0
e pede (a) o valor de f(0), (b) o limite pela esquerda em 0, © o limite pela direita em 0, (d) o limite em 0, e (e) verificar continuidade em x=0. Para isso vamos usar definição de limite, limite notável limuto0sin uu=1 e substituição direta.

Passo 2

Pelo enunciado, quando x=0 definimos
f(0)=2

Passo 3

Para calcular o limite pela esquerda usamos
limxto0^-sin2xx= 2limxto0^-sin2x2x=2cdot1=2
pois aplicamos o limite notável limuto0sin uu=1 com u=2x.

Passo 4

Para o limite pela direita aplicamos substituição direta em 3+e^x2:
limxto0^+3+e^x2= 3+e^02=3+12=2

Passo 5

Como os limites laterais são iguais (ambos valem 2), temos
limxto0f(x)=2

Passo 6

A função é contínua em x=0 se e somente se limxto0f(x)=f(0). Como ambos valem 2, concluímos que f é contínua em 0.

Resposta

(a) f(0)=2; (b) limxto0^-f(x)=2; © limxto0^+f(x)=2; (d) limxto0f(x)=2; (e) Sim, f é contínua em x=0.

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