Seja a superfície S parte do cone z^2=x^2+y^2 que se encontra dentro do cilindro x^2+y^2 <= 2 y, fora do cilindro x^2+y^2 <= 1 e acima do plano x y.
Parametrize S usando coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização usando coordenadas polares da parte do cone z^2=x^2+y^2 com z>=0 (acima do plano xy), que está entre os cilindros x^2+y^2<=1 (fora, logo x^2+y^2>=1) e x^2+y^2<=2y (dentro). Vamos precisar usar a relação entre coordenadas cartesianas e polares e identificar a região de projeção no plano xy.

Passo 2

Em coordenadas polares temos x=rcostheta, y=rsintheta e o cone z^2=x^2+y^2, para z>=0, vira z=r.
A condição de estar fora de x^2+y^2<=1 implica r^2>=1, ou seja r>=1.
A condição de estar dentro de x^2+y^2<=2y fica r^2<=2rsintheta, ou seja r<=2sintheta.

Passo 3

Para que exista r tal que 1<= r<=2sintheta precisamos de 2sintheta>=1, logo sintheta>=tfrac12, isto é thetain[tfracpi6,tfrac5pi6].
Portanto, a parametrização será
r(r,theta)=(rcostheta,;rsintheta,;r), 1<= r<=2sintheta,;tfracpi6<=theta<=tfrac5pi6

Resposta

A parametrização é r(r,theta)=(rcostheta,;rsintheta,;r) com 1<= r<=2sintheta e tfracpi6<=theta<=tfrac5pi6.

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