(2,0 pontos) Deduza uma equação da cônica de foco F=(2,0) com excentricidade varepsilon=1 e diretriz x=-2. Esboce o gráfico da cônica especificando os elementos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para deduzir a equação de uma cônica que tem foco em , excentricidade e diretriz . A matéria envolvida aqui é a de Cônicas, especificamente tratando de parábolas, já que a excentricidade igual a 1 indica que estamos lidando com uma parábola. Vamos precisar entender o que são foco, diretriz e excentricidade para montar essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é cada termo:
  • Foco: Um ponto fixo da cônica.
  • Diretriz: Uma reta fixa que está relacionada com a cônica.
  • Excentricidade ( ): Mede a “alongamento” da cônica. Para , a cônica é uma parábola.
Para uma parábola, a definição diz que é o conjunto de pontos que estão à mesma distância do foco e da diretriz.

Passo 3

Vamos usar a definição para montar a equação. Seja raiz(x - 2)^2 + (y - 0)^2 um ponto qualquer na parábola. A distância de |x - (-2)| = |x + 2| ao foco é igual à distância de à diretriz .
A distância de ao foco é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:
A distância de à diretriz é a distância horizontal, que é:

Passo 4

Igualando as duas distâncias, temos:
raiz(x - 2)^2 + y^2 = |x + 2|
Vamos eliminar a raiz e o valor absoluto elevando ambos os lados ao quadrado:
(x - 2)^2 + y^2 = (x + 2)^2

Passo 5

Expandindo os quadrados:
x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 + 4x + 4
Agora, vamos simplificar a equação cancelando termos semelhantes:
-4x + y^2 = 4x

Passo 6

Isolando y^2 = 8x :

Resposta

A equação da parábola é . O gráfico dessa parábola tem seu foco em , diretriz na reta , e abre-se para a direita.

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