Resolva as seguintes equações diferenciais usando a transformada de Laplace (Total de 6 pontos):
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Com as condições iniciais:
Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver isso. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa que transforma equações diferenciais do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
E também precisaremos da transformada de:
Passo 3
Vamos realizar a transformada de Laplace em cada termo:
Substituindo as transformadas dos derivados:
Passo 4
Agora, vamos substituir as condições iniciais
e
:
Simplificando os termos:
Passo 5
Precisamos calcular
. Sabemos que:
Para
e
:
Então, nossa equação fica:
Passo 6
Vamos isolar
:
Note que
. Substituindo:
Multiplicando ambos os lados por
:
Mas isso complica as coisas. Vamos reorganizar de outra maneira:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando
:
Passo 7
Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
. Sabemos que:
Aplicando isso aos termos:
- Para
:
- Para
:
Resposta
Juntando tudo, a solução da equação diferencial é: