Calcule a seguinte transformada inversa como uma convolução (Total de 4 pontos):
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa transformada inversa usando convolução! O enunciado pede para calcular
. Aqui, vamos trabalhar com a Transformada de Laplace e utilizar a propriedade de convolução. Vamos precisar lembrar como funciona a transformada de funções trigonométricas básicas e como aplicar a convolução para transformar a expressão dada de volta para o domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a transformada básica que temos. Sabemos que:
Então, se quisermos a transformada inversa de
, ela seria:
Como temos
, podemos pensar nisso como o produto de duas transformadas iguais:
Aplicando a propriedade de convolução, temos que a transformada inversa do produto é a convolução das transformadas inversas individuais.
Passo 3
Vamos calcular a convolução:
Isso significa que:
Usando a identidade trigonométrica
, temos:
Integrando cada termo:
Resposta
Portanto, a transformada inversa é: