(7 pontos). Deduza a expressão para a distribuição de temperatura em um cilindro seguindo as seguintes especificações: Unidimensional, Permanente, k constante, com geração de energia.
a) Simplifique a equação do calor para esse caso específico.
b) Descreva as condições de contorno aplicadas nesse caso.
c) Ache as constantes arbitrárias através da integração da equação do calor.
d) Descreva a equação da distribuição de calor para o cilindro com a geração de energia.

Passo 1

O enunciado pede a distribuição de temperatura em um cilindro de raio R submetido a geração volumétrica de calor \dot{q}, condutividade térmica constante k, regime permanente e variação somente na direção radial. Para resolver, vamos usar a equação de condução de calor em coordenadas cilíndricas (1D, estacionário) e impor as condições de contorno na superfície externa e no centro.

Passo 2

A forma geral da equação de condução com geração volumétrica em coordenadas cilíndricas, regime permanente e sem variação axial ou angular é
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\Bigl(k\,r\,\frac{dT}{dr}\Bigr)\;+\;\dot{q}\;=\;0.
Como k é constante, simplificamos para
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\Bigl(r\,\frac{dT}{dr}\Bigr)\;+\;\frac{\dot{q}}{k}\;=\;0.

Passo 3

As condições de contorno são:
  1. No centro ( r=0), a temperatura deve ser finita, o que implica simetria e
\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=0}=0.
  1. Na superfície externa ( r=R), a troca com fluido à temperatura T_\infty ocorre por convecção, de modo que
-k\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=R} \;=\; h\bigl[T(R)-T_\infty\bigr].

Passo 4

Integramos a equação simplificada em dois passos:
  1. Multiplicando por r e integrando
    \frac{d}{dr}\Bigl(r\,\frac{dT}{dr}\Bigr) = -\frac{\dot{q}}{k}\,r \quad\Longrightarrow\quad r\,\frac{dT}{dr} = -\frac{\dot{q}}{2k}\,r^2 + C_1.
    Logo
    \frac{dT}{dr} = -\frac{\dot{q}}{2k}\,r + \frac{C_1}{r}.
  2. Integrando de novo
    T(r) = -\frac{\dot{q}}{4k}\,r^2 + C_1\ln r + C_2.
Pela condição no centro, T não pode divergir em r=0, logo C_1=0. Aplicando a condição de convecção em r=R:
-k\left(-\frac{\dot{q}}{2k}R\right) = h\Bigl[\bigl(-\frac{\dot{q}}{4k}R^2 + C_2\bigr)-T_\infty\Bigr] \;\Longrightarrow\; \frac{\dot{q}R}{2} = h\Bigl(C_2 - T_\infty - \frac{\dot{q}R^2}{4k}\Bigr).
Dessa igualdade segue
C_2 = T_\infty + \frac{\dot{q}R^2}{4k} + \frac{\dot{q}R}{2h}.

Resposta

Substituindo C_1=0 e o valor de C_2, obtemos a distribuição radial de temperatura
T(r) = T_\infty \;+\;\frac{\dot{q}}{4k}\bigl(R^2 - r^2\bigr) \;+\;\frac{\dot{q}\,R}{2\,h}.

Exercícios relacionados