Questão 5 (10 %) - Utilizando os seus conhecimentos teóricos em mecânica aplicada, responda às seguintes questões,
o que é o princípio de trabalho e energia? Explique a sua resposta utilizando equações quando necessário;

Passo 1

O enunciado quer que a gente explique o princípio de trabalho e energia na mecânica aplicada, usando equações. Para isso vamos precisar dos conceitos de trabalho realizado por uma força e de energia cinética de uma partícula, além de usar a segunda lei de Newton para derivar o teorema trabalho–energia.

Passo 2

Definimos o trabalho diferencial realizado por uma força \vec F ao deslocar um ponto material de \vec r para \vec r + d\vec r como
\delta W = \vec F \cdot d\vec r.
O trabalho total ao longo de um trajeto de 1 a 2 é
W = \int_{1}^{2} \vec F \cdot d\vec r.

Passo 3

A energia cinética de uma partícula de massa m que se move com velocidade \vec v é
K = \tfrac12\,m\,v^2.
Pela segunda lei de Newton temos \vec F = m\,\vec a = m\,\frac{d\vec v}{dt}. Para relacionar trabalho e energia cinética, projetamos essa lei no deslocamento d\vec r = \vec v\,dt:

Passo 4

Multiplicando \vec F = m\,\tfrac{d\vec v}{dt} escalarmente por d\vec r obtemos
\vec F\cdot d\vec r = m\,\frac{d\vec v}{dt}\cdot\vec v\,dt = m\,d\!\bigl(\tfrac12\,v^2\bigr) = dK.
Integrando de 1 a 2
\int_{1}^{2}\vec F\cdot d\vec r =\int_{K_1}^{K_2}dK \quad\Longrightarrow\quad W = K_2 - K_1 = \Delta K.

Passo 5

Esse resultado é o princípio de trabalho e energia para uma partícula:
a soma dos trabalhos de todas as forças que atuam no corpo, ao deslocá-lo de uma posição a outra, é igual à variação de sua energia cinética. Em forma de equação geral:
\sum W = \Delta K.
Quando as forças são conservativas, cada trabalho pode ser expresso via energia potencial U (com W_{\rm cons}=-\Delta U), e então temos
\Delta K + \Delta U = 0 \quad\text{(energia mecânica conservada).}â

Resposta

O princípio de trabalho e energia afirma que o trabalho total realizado pelas forças que atuam num corpo é igual à variação da sua energia cinética:
\sum W = \Delta K.

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