(1 ponto) Dado um circuito paralelo com R=5 \Omega, L=10 \mathrm{mH}, e C=200 \mu \mathrm{~F}, calcule a impedância total em \omega=1000 \mathrm{rad} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a impedância total de um conjunto de três elementos ligados em paralelo, para a frequência angular dada. As informações fornecidas são:
  • R=5\\ \Omega.
  • L=10\\ \mathrm{mH}=10\times10^{-3}\\ \mathrm{H}=0,01\\ \mathrm{H}.
  • C=200\\ \mu\mathrm{F}=200\times10^{-6}\\ \mathrm{F}=0,0002\\ \mathrm{F}.
  • \omega=1000\\ \mathrm{rad/s}.
Ou seja, quero Z_{\text{eq}} do paralelo de R, L e C em \omega=1000\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas básicas de impedância (isso é uma mini-aula rápida e prática):
  • Impedância de um resistor: \;Z_R=R. Aqui isso significa que o resistor tem apenas parte real (sem fase).
  • Impedância de um indutor: \;Z_L=j\,\omega L. O j indica que a queda de tensão no indutor está +90^\circ adiantada em relação à corrente.
  • Impedância de um capacitor: \;Z_C=\dfrac{1}{j\,\omega C}=-j\dfrac{1}{\omega C}. O sinal negativo em j indica que a tensão no capacitor está -90^\circ defasada em relação à corrente.
Agora calculamos cada impedância com os números dados (vou mostrar cada passo numérico):
  • Para o resistor:
Z_R=R=5\\ \Omega.
  • Para o indutor:
Z_L=j\,\omega L = j\cdot 1000 \cdot 0,01 = j\,10\\ \Omega.
  • Para o capacitor:
\omega C = 1000 \cdot 0,0002 = 0,2,
Z_C=\frac{1}{j\,\omega C}=-j\frac{1}{\omega C}=-j\frac{1}{0,2}=-j\,5\\ \Omega.

Passo 3

Elementos em paralelo somam pelas suas admitâncias. Admitância é o inverso da impedância:
Y=\frac{1}{Z_R}+\frac{1}{Z_L}+\frac{1}{Z_C}.
Calculo cada termo (explicando a operação com números complexos simples):
  • \dfrac{1}{Z_R}=\dfrac{1}{5}=0,2\\ \text{S} (siemens, unidade de admitância).
  • \dfrac{1}{Z_L}=\dfrac{1}{j\,10}=\frac{1}{j}\cdot\frac{1}{10}=-j\cdot 0,1=-j\,0,1\\ \text{S}. (lembrando: 1/j=-j).
  • \dfrac{1}{Z_C}=\dfrac{1}{-j\,5}=-\frac{1}{j}\cdot\frac{1}{5}=j\cdot 0,2=j\,0,2\\ \text{S}.

Passo 4

Somando as admitâncias (somamos as partes reais e imaginárias separadamente):
Y = 0,2 + (-j\,0,1) + j\,0,2 = 0,2 + j\,( -0,1 + 0,2 ) = 0,2 + j\,0,1\\ \text{S}.
Ou seja, a admitância total é \;Y=0,2+j\,0,1\\ \text{S}.

Passo 5

A impedância equivalente é o inverso da admitância total:
Z_{\text{eq}}=\frac{1}{Y}=\frac{1}{0,2+j\,0,1}.
Para calcular o inverso de um número complexo, multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado:
Z_{\text{eq}}=\frac{0,2-j\,0,1}{(0,2)^2+(0,1)^2}=\frac{0,2-j\,0,1}{0,04+0,01}=\frac{0,2-j\,0,1}{0,05}.
Dividindo cada termo por 0,05:
Z_{\text{eq}}=4 - j\,2\\ \Omega.

Passo 6

Interpretação final (útil para prova): o resultado em forma retangular é \;4 - j\,2\\ \Omega. Podemos também dar a forma polar (módulo e ângulo), calculando:
|Z_{\text{eq}}|=\sqrt{4^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}\approx 4,4721\\ \Omega,
\angle Z_{\text{eq}}=\arctan\!\left(\frac{-2}{4}\right)=\arctan(-0,5)\approx -26,565^\circ.

Resposta

\,Z_{\text{eq}}=4 - j\,2\\ \Omega
\,|Z_{\text{eq}}|\approx 4,4721\\ \Omega,\\ \angle Z_{\text{eq}}\approx -26,565^\circ

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