Em que pontos a derivada da função
coincide, numericamente, com o valor da própria função isto é,
?
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos em que a função f(x)=x³ e sua derivada f’(x) têm o mesmo valor numérico. Vamos usar a definição de derivada de potência.
Passo 2
Calcular a derivada de f(x)=x³ usando a regra do expoente. A regra diz que, se f(x)=xⁿ, então f’(x)=n·xⁿ⁻¹. Aplicando aqui, temos f’(x)=3·x².
Passo 3
Igualar f(x) e f’(x) para encontrar os pontos em que coincidem numericamente: x³=3x². Fatorando o lado esquerdo:
x²·(x−3)=0. Portanto as soluções são x=0 e x=3.
x²·(x−3)=0. Portanto as soluções são x=0 e x=3.
Passo 4
Verificar rapidamente: para x=0 vem f(0)=0³=0 e f’(0)=3·0²=0; para x=3 vem f(3)=27 e f’(3)=3·9=27, confirmando a coincidência.
Resposta
x = 0 e x = 3