Em que pontos a derivada da função y=x^3 coincide, numericamente, com o valor da própria função isto é, f(x)=f^prime(x) ?

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos em que a função f(x)=x³ e sua derivada f’(x) têm o mesmo valor numérico. Vamos usar a definição de derivada de potência.

Passo 2

Calcular a derivada de f(x)=x³ usando a regra do expoente. A regra diz que, se f(x)=xⁿ, então f’(x)=n·xⁿ⁻¹. Aplicando aqui, temos f’(x)=3·x².

Passo 3

Igualar f(x) e f’(x) para encontrar os pontos em que coincidem numericamente: x³=3x². Fatorando o lado esquerdo:
x²·(x−3)=0. Portanto as soluções são x=0 e x=3.

Passo 4

Verificar rapidamente: para x=0 vem f(0)=0³=0 e f’(0)=3·0²=0; para x=3 vem f(3)=27 e f’(3)=3·9=27, confirmando a coincidência.

Resposta

x = 0 e x = 3

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