Em que ponto a tangente à curva y=x^3 é perpendicular à recta -2 x+y-13=0 ?

Passo 1

A questão pede o ponto da curva y = x^3 cuja reta tangente seja perpendicular à reta dada. Vamos usar derivada para obter o coeficiente angular da tangente e o conceito de retas perpendiculares para relacionar os coeficientes.

Passo 2

Primeiro, achamos o coeficiente angular da reta dada. A reta é -2x + y - 13 = 0, então isolando y:
y = 2x + 13
O coeficiente angular desta reta é m₁ = 2.

Passo 3

Para que duas retas sejam perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares deve ser -1. Se m₂ é o coeficiente da tangente, temos
m₁ cdot m₂ = -1 implies 2 cdot m₂ = -1 implies m₂ = -tfrac12

Passo 4

Agora calculamos a derivada de y = x^3 para obter o coeficiente angular da tangente em qualquer ponto x.
y' = dydx = 3x^2
Igualamos àquele valor que queremos para m₂:
3x^2 = -tfrac12

Passo 5

A equação 3x^2 = -1/2 não tem solução real, pois o lado esquerdo é sempre ≥ 0 e não pode ser negativo. Logo, não existe x real que torne a tangente perpendicular à reta dada.

Resposta

Não existe ponto real em que a tangente à curva y = x^3 seja perpendicular à reta -2x + y - 13 = 0.

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