Em que ponto a tangente à curva
é perpendicular à recta
?
Passo 1
A questão pede o ponto da curva y = x^3 cuja reta tangente seja perpendicular à reta dada. Vamos usar derivada para obter o coeficiente angular da tangente e o conceito de retas perpendiculares para relacionar os coeficientes.
Passo 2
Primeiro, achamos o coeficiente angular da reta dada. A reta é -2x + y - 13 = 0, então isolando y:
O coeficiente angular desta reta é m₁ = 2.
Passo 3
Para que duas retas sejam perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares deve ser -1. Se m₂ é o coeficiente da tangente, temos
Passo 4
Agora calculamos a derivada de y = x^3 para obter o coeficiente angular da tangente em qualquer ponto x.
Igualamos àquele valor que queremos para m₂:
Passo 5
A equação 3x^2 = -1/2 não tem solução real, pois o lado esquerdo é sempre ≥ 0 e não pode ser negativo. Logo, não existe x real que torne a tangente perpendicular à reta dada.
Resposta
Não existe ponto real em que a tangente à curva y = x^3 seja perpendicular à reta -2x + y - 13 = 0.