Achar a equação da parábola y=x^2+b x+c, que é tangente à recta x=y no ponto (1,1).

Passo 1

A questão quer a equação da parábola y = x² + b x + c que seja tangente à reta y = x no ponto (1,1). Isso envolve usar duas condições de tangência: a curva e a reta passam por (1,1) e têm a mesma inclinação ali.

Passo 2

Para a interseção em (1,1), substituímos x=1 em y = x² + b x + c e igualamos a 1: 1² + b·1 + c = 1. Daí vem b + c = 0.
A inclinação da reta y = x é 1. A inclinação da parábola é dada pela derivada y’ = 2x + b. No ponto x = 1, temos y’(1) = 2·1 + b = 2 + b. Igualando à inclinação 1, obtemos 2 + b = 1, logo b = -1.

Passo 3

Com b = -1 na relação b + c = 0, segue c = 1.

Passo 4

Portanto, a parábola procurada é y = x² - x + 1.

Resposta

y = x^2 - x + 1

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