( 2,0 pontos) Derive:
y=\frac{2+\sqrt{t}}{2 t}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função em relação a t. A função dada é
y=\frac{2+\sqrt{t}}{2t}.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A variável independente é t.
  • A função envolve \sqrt{t}, então implicitamente consideramos t>0 (para a raiz real).
  • Queremos \dfrac{dy}{dt}, ou seja, a derivada de y em relação a t.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão antes de derivar — isso costuma deixar o cálculo mais direto. Converto a raiz em potência e separo a fração em soma de termos:
\sqrt{t}=t^{1/2},
y=\frac{2+t^{1/2}}{2t}=\frac{2}{2t}+\frac{t^{1/2}}{2t}.
Agora simplifico cada termo:
\frac{2}{2t}=\frac{1}{t}=t^{-1},
\frac{t^{1/2}}{2t}=\frac{1}{2}t^{1/2-1}=\frac{1}{2}t^{-1/2}.
Portanto obtemos uma forma mais conveniente para derivar:
y=t^{-1}+\tfrac{1}{2}t^{-1/2}.

Passo 3

Vou aplicar a regra do poder (power rule): se f(t)=t^{n}, então f'(t)=n\,t^{n-1}. Explico rapidamente com um exemplo simples: a derivada de t^{3} é 3t^{2} porque multiplicamos pelo expoente e diminuímos o expoente em 1.
Usando isso nos dois termos:
  • Para t^{-1}: a derivada é -1\cdot t^{-2}=-t^{-2}.
  • Para \tfrac{1}{2}t^{-1/2}: aplicamos a constante \tfrac{1}{2} multiplicando a derivada de t^{-1/2}. A derivada de t^{-1/2} é -\tfrac{1}{2}t^{-3/2}. Então
\frac{d}{dt}\!\left(\tfrac{1}{2}t^{-1/2}\right)=\tfrac{1}{2}\cdot\left(-\tfrac{1}{2}t^{-3/2}\right)=-\tfrac{1}{4}t^{-3/2}.
Juntando:
\frac{dy}{dt}=-t^{-2}-\tfrac{1}{4}t^{-3/2}.

Passo 4

Agora vou escrever a resposta numa forma mais usual em termos de potências ou radicais e, em seguida, juntar em uma única fração. Primeiro reescrevendo com radicais:
\frac{dy}{dt}=-\frac{1}{t^{2}}-\frac{1}{4t^{3/2}}.
Para combinar em um único quociente, uso o denominador comum 4t^{2}. Escrevo cada parcela com esse denominador:
-\frac{1}{t^{2}}=-\frac{4}{4t^{2}},\qquad -\frac{1}{4t^{3/2}}=-\frac{\sqrt{t}}{4t^{2}}.
Somando:
\frac{dy}{dt}=-\frac{4+\sqrt{t}}{4t^{2}}.

Passo 5

Dica rápida para a prova: tanto faz usar a simplificação algébrica (como fiz) quanto aplicar diretamente a regra do quociente. Eu escolhi simplificar porque evita cálculos maiores e diminui chances de erro. Se usar quociente, lembre-se da fórmula \dfrac{u}{v}’ = \dfrac{u’v-uv’}{v^{2}}) e aplique com cuidado.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dt}=-\frac{4+\sqrt{t}}{4t^{2}}

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