( 2,0 pontos) Derive:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função em relação a
. A função dada é
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A variável independente é
. - A função envolve
, então implicitamente consideramos (para a raiz real). - Queremos
, ou seja, a derivada de em relação a .
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão antes de derivar — isso costuma deixar o cálculo mais direto. Converto a raiz em potência e separo a fração em soma de termos:
Agora simplifico cada termo:
Portanto obtemos uma forma mais conveniente para derivar:
Passo 3
Vou aplicar a regra do poder (power rule): se
, então
. Explico rapidamente com um exemplo simples: a derivada de
é
porque multiplicamos pelo expoente e diminuímos o expoente em
.
Usando isso nos dois termos:
- Para
: a derivada é . - Para
: aplicamos a constante multiplicando a derivada de . A derivada de é . Então
Juntando:
Passo 4
Agora vou escrever a resposta numa forma mais usual em termos de potências ou radicais e, em seguida, juntar em uma única fração. Primeiro reescrevendo com radicais:
Para combinar em um único quociente, uso o denominador comum
. Escrevo cada parcela com esse denominador:
Somando:
Passo 5
Dica rápida para a prova: tanto faz usar a simplificação algébrica (como fiz) quanto aplicar diretamente a regra do quociente. Eu escolhi simplificar porque evita cálculos maiores e diminui chances de erro. Se usar quociente, lembre-se da fórmula
’ = \dfrac{u’v-uv’}{v^{2}}) e aplique com cuidado.