Utilize desenvolvimento em séries de MacLaurin para calcular os seguintes limites.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas:
tende a
. As expressões envolvidas são
,
e uma subtração/adição fina com
. Note que avaliando em
temos
e
, então o numerador tende a
. Portanto a forma do limite é
— indeterminação, o que justifica usar desenvolvimento em série (Maclaurin) para resolver.
Passo 2
Apresento as séries de Maclaurin usadas (explico o que cada variável significa):
Seja uma variável pequena (no nosso caso vai ser
). As séries de Maclaurin (expansões em torno de
) que vamos usar são:
Seja
Explicação: em
a primeira ordem é
, a segunda ordem é
, etc. Em
a expansão envolve
,
,
, etc. O símbolo
significa “termos de ordem
ou superiores” — quantifica o resto da série; quando
esses termos vão a zero mais rápido que as potências mostradas.
Passo 3
Justifico até que ordem precisamos expandir: como o denominador é
e vamos substituir
, note que
. Portanto precisamos das expansões até termos que contenham
(ou seja, até ordem
); termos em
viram
, que ao dividir por
tendem a
. Assim, das séries acima podemos tomar:
Reforço: escolhemos essa ordem para captar todos os termos que podem contribuir ao limite quando dividirmos por
.
Passo 4
Agora substituo as expansões na expressão do numerador. Lembrando que o numerador é
, temos:
Agrupando termos iguais (e observando que os
e
se cancelam):
- Os termos constantes:
. - Os termos em
: (também se cancelam). - Os termos em
: . - Os termos restantes ficam em
.
Logo
Passo 5
Volto para a variável
através de
. Assim
Então a expressão completa do limite fica
Quando
temos
, portanto o limite é o termo constante que resta:
Resposta
-1