Utilize desenvolvimento em séries de MacLaurin para calcular os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x^{3}\right)-e^{x^{3}}+1}{x^{6}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0} \frac{\ln\left(1+x^{3}\right)-e^{x^{3}}+1}{x^{6}}.
Informações dadas e observações imediatas:
x tende a 0. As expressões envolvidas são \ln\bigl(1+x^{3}\bigr), e^{x^{3}} e uma subtração/adição fina com +1. Note que avaliando em x=0 temos \ln(1+0)=0 e e^{0}=1, então o numerador tende a 0-1+1=0. Portanto a forma do limite é \frac{0}{0} — indeterminação, o que justifica usar desenvolvimento em série (Maclaurin) para resolver.

Passo 2

Apresento as séries de Maclaurin usadas (explico o que cada variável significa):
Seja u uma variável pequena (no nosso caso vai ser u=x^3). As séries de Maclaurin (expansões em torno de 0) que vamos usar são:
\ln(1+u)=u-\frac{u^{2}}{2}+\frac{u^{3}}{3}+O(u^{4}),
e^{u}=1+u+\frac{u^{2}}{2}+\frac{u^{3}}{6}+O(u^{4}).
Explicação: em \ln(1+u) a primeira ordem é u, a segunda ordem é -\tfrac{u^2}{2}, etc. Em e^{u} a expansão envolve 1, u, \tfrac{u^2}{2}, etc. O símbolo O(u^{4}) significa “termos de ordem u^{4} ou superiores” — quantifica o resto da série; quando u\to0 esses termos vão a zero mais rápido que as potências mostradas.

Passo 3

Justifico até que ordem precisamos expandir: como o denominador é x^{6} e vamos substituir u=x^{3}, note que u^{2}=(x^{3})^{2}=x^{6}. Portanto precisamos das expansões até termos que contenham u^{2} (ou seja, até ordem u^{2}); termos em u^{3} viram x^{9}, que ao dividir por x^{6} tendem a 0. Assim, das séries acima podemos tomar:
\ln(1+u)=u-\frac{u^{2}}{2}+O(u^{3}),
e^{u}=1+u+\frac{u^{2}}{2}+O(u^{3}).
Reforço: escolhemos essa ordem para captar todos os termos que podem contribuir ao limite quando dividirmos por x^{6}.

Passo 4

Agora substituo as expansões na expressão do numerador. Lembrando que o numerador é \ln(1+u)-e^{u}+1, temos:
\ln(1+u)-e^{u}+1=\Bigl(u-\frac{u^{2}}{2}+O(u^{3})\Bigr)-\Bigl(1+u+\frac{u^{2}}{2}+O(u^{3})\Bigr)+1.
Agrupando termos iguais (e observando que os +1 e -1 se cancelam):
  • Os termos constantes: -1+1=0.
  • Os termos em u: u - u = 0 (também se cancelam).
  • Os termos em u^{2}: -\frac{u^{2}}{2} - \frac{u^{2}}{2} = -u^{2}.
  • Os termos restantes ficam em O(u^{3}).
Logo
\ln(1+u)-e^{u}+1 = -u^{2} + O(u^{3}).

Passo 5

Volto para a variável x através de u=x^{3}. Assim
-u^{2} + O(u^{3}) = -(x^{3})^{2} + O\bigl((x^{3})^{3}\bigr) = -x^{6} + O(x^{9}).
Então a expressão completa do limite fica
\frac{\ln(1+x^{3})-e^{x^{3}}+1}{x^{6}} = \frac{-x^{6} + O(x^{9})}{x^{6}} = -1 + O(x^{3}).
Quando x\to 0 temos O(x^{3})\to 0, portanto o limite é o termo constante que resta:
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x^{3})-e^{x^{3}}+1}{x^{6}}=-1.

Resposta

-1

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