Usando o teste de D 'Alambert verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{e^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{e^{n}}
é convergente ou divergente. Informações dadas e observações iniciais:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_n=\frac{n!}{e^{n}}.
  • A soma é para n=1,2,3,\dots.
  • Cada a_n é um número positivo (pois n! e e^{n} são positivos).
  • A tarefa é decidir convergência ou divergência da série infinita.

Passo 2

Vou usar o teste de D’Alembert (teste da razão). Vou primeiro explicar o teste de forma clara e prática:
  • Seja uma série com termos positivos \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n, com a_n>0.
  • Definimos a razão
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
  • Regras do teste:
    • Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
    • Se L>1 (ou L=+\infty), a série diverge.
    • Se L=1, o teste é inconclusivo (não diz nada).
      Explicação rápida das variáveis: a_n é o termo geral; a_{n+1} é o termo seguinte; o limite L mede a razão assintótica entre termos consecutivos.

Passo 3

Calculemos a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n} para a nossa sequência \displaystyle a_n=\frac{n!}{e^{n}}. Faço passo a passo:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)!}{e^{\,n+1}}}{\dfrac{n!}{e^{\,n}}}
Agora simplifico usando que (n+1)!=(n+1)\cdot n! e propriedades de potências:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!\,e^{\,n}}{n!\,e^{\,n+1}} = \frac{(n+1)\,n!\,e^{\,n}}{n!\,e^{\,n}\,e} = \frac{n+1}{e}.
Observação: a simplificação e^{\,n}/e^{\,n+1}=1/e e o cancelamento de n! são operações padrão.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{e}.
Como n+1\to\infty quando n\to\infty, o quociente tende a +\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{e}=+\infty.
Portanto o limite L do teste da razão é +\infty, ou seja, L>1.

Passo 5

Pelo teste de D’Alembert, se L>1 a série diverge. Como aqui L=+\infty>1, concluímos que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{e^{n}}
é divergente.

Passo 6

Comentário adicional útil para a prova (dica prática): já dá para ver também que os termos a_n=\dfrac{n!}{e^{n}} não tendem a zero — na verdade crescem sem limite, porque n! cresce muito mais rápido que e^{n}. Um teste simples: para n\ge 3 temos \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{n+1}{e}>1, então a sequência a_n aumenta a partir de certo ponto e não tende a zero; como termo geral não tende a zero, a série não pode convergir (teste do termo). Isso confirma a conclusão do teste da razão.

Passo 7

Resumo rápido para decorar: calcule a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n}, tome o limite; se o limite >1 diverge, se <1 converge, se =1 inconclusivo. Aqui a razão foi \dfrac{n+1}{e} e o limite é +\infty — portanto diverge. Força aí nos estudos, já era um passo importante!

Resposta

A série diverge.

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