Usando o teste de D 'Alambert verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
é convergente ou divergente. Informações dadas e observações iniciais:
- O termo geral da série é
. - A soma é para
. - Cada
é um número positivo (pois e são positivos). - A tarefa é decidir convergência ou divergência da série infinita.
Passo 2
Vou usar o teste de D’Alembert (teste da razão). Vou primeiro explicar o teste de forma clara e prática:
- Seja uma série com termos positivos
, com . - Definimos a razão
- Regras do teste:
- Se
, a série converge absolutamente (logo converge). - Se
(ou ), a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo (não diz nada).
Explicação rápida das variáveis:é o termo geral; é o termo seguinte; o limite mede a razão assintótica entre termos consecutivos.
- Se
Passo 3
Calculemos a razão
para a nossa sequência
. Faço passo a passo:
Agora simplifico usando que
e propriedades de potências:
Observação: a simplificação
e o cancelamento de
são operações padrão.
Passo 4
Agora tomamos o limite quando
:
Como
quando
, o quociente tende a
:
Portanto o limite
do teste da razão é
, ou seja,
.
Passo 5
Pelo teste de D’Alembert, se
a série diverge. Como aqui
, concluímos que a série
é divergente.
Passo 6
Comentário adicional útil para a prova (dica prática): já dá para ver também que os termos
não tendem a zero — na verdade crescem sem limite, porque
cresce muito mais rápido que
. Um teste simples: para
temos
, então a sequência
aumenta a partir de certo ponto e não tende a zero; como termo geral não tende a zero, a série não pode convergir (teste do termo). Isso confirma a conclusão do teste da razão.
Passo 7
Resumo rápido para decorar: calcule a razão
, tome o limite; se o limite >1 diverge, se <1 converge, se =1 inconclusivo. Aqui a razão foi
e o limite é
— portanto diverge. Força aí nos estudos, já era um passo importante!
Resposta
A série diverge.