- (2,0 pontos) Determinar e classificar, se possível, os pontos críticos da função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar e classificar, se possível, os pontos críticos.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
em termos de e . - Não há restrição explícita de domínio, logo
. - O pedido é: encontrar todas as coordenadas
onde ocorrem pontos críticos e dizer se cada ponto crítico é máximo local, mínimo local ou ponto de sela (ou inconclusivo).
Passo 2
O que é um ponto crítico e como vamos encontrá-lo (explicação didática):
- Um ponto crítico de uma função de duas variáveis ocorre quando o gradiente é zero ou quando alguma derivada parcial não existe. Aqui a função é polinomial, então todas as derivadas existem em todo lugar; portanto procuramos onde o gradiente é zero.
- O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
- Logo devemos calcular
e e resolver o sistema .
Vou mostrar como derivar cada termo e depois resolver o sistema passo a passo.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais (passo a passo):
- Derivando termo a termo em relação a
: -
. -
(trata como constante). -
. -
.
-
- Portanto
- Derivando em relação a
: -
. -
. -
. -
.
-
- Portanto
Passo 4
Resolver o sistema
(detalhando álgebra):
- O sistema é
- Simplifico dividindo por
cada equação:
- Da segunda equação segue diretamente
- Substituo
na primeira:
- Fatoreando:
logo as soluções em
são
ou
. Como
, obtemos os pontos críticos
Passo 5
Cálculo das segundas derivadas (Hessiano) e preparação para classificar:
- Definição dos termos do Hessiano (cada um explicado):
-
é a derivada parcial segunda em relação a , chamada . -
é . -
é (mista).
-
- Calculo:
- A partir de
, deriva-se em :
- A partir de
, deriva-se em :
- A derivada mista (por exemplo
) pegando e derivando em :
- A partir de
- O determinante do Hessiano (denotado
) em um ponto é
- Interpretação do teste das segundas derivadas (explicação):
- Se
e então ponto é mínimo local. - Se
e então ponto é máximo local. - Se
então ponto é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
- Se
Passo 6
Aplicar o teste em cada ponto crítico (cálculos detalhados):
- Primeiro, expressão geral para
: - Substituindo
, e ,
- Substituindo
- Avaliando em
( ): -
. -
. - Como
e , segue que é um máximo local.
-
- Avaliando em
( ): -
. - Quando
a conclusão é que o ponto é um ponto de sela. - Não é necessário usar
aqui porque já garante sela.
-
Passo 7
Observações finais e incentivo:
- Encontramos exatamente dois pontos críticos e conseguimos classificá-los pelo teste das segundas derivadas.
- Se ficar inseguro na prova: calcule sempre as derivadas parciais com calma, reduza os fatores simples (como dividir por
), substitua uma equação na outra quando possível e calcule o determinante do Hessiano para a classificação. Você já tem prática de fatoração simples; isso costuma resolver o sistema rápido.