1. (2,0 pontos) Determinar e classificar, se possível, os pontos críticos da função
z=2 x^{3}+2 x y-4 x^{2}-y^{2}+10

Passo 1

O enunciado dá a função
z=2 x^{3}+2 x y-4 x^{2}-y^{2}+10
e pede para determinar e classificar, se possível, os pontos críticos.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de z em termos de x e y.
  • Não há restrição explícita de domínio, logo x,y\in\mathbb{R}.
  • O pedido é: encontrar todas as coordenadas (x,y) onde ocorrem pontos críticos e dizer se cada ponto crítico é máximo local, mínimo local ou ponto de sela (ou inconclusivo).

Passo 2

O que é um ponto crítico e como vamos encontrá-lo (explicação didática):
  • Um ponto crítico de uma função de duas variáveis ocorre quando o gradiente é zero ou quando alguma derivada parcial não existe. Aqui a função é polinomial, então todas as derivadas existem em todo lugar; portanto procuramos onde o gradiente é zero.
  • O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla z = \left(\frac{\partial z}{\partial x},\; \frac{\partial z}{\partial y}\right).
  • Logo devemos calcular \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} e resolver o sistema \frac{\partial z}{\partial x}=0,\; \frac{\partial z}{\partial y}=0.
    Vou mostrar como derivar cada termo e depois resolver o sistema passo a passo.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais (passo a passo):
  • Derivando termo a termo em relação a x:
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(2x^{3})=6x^{2}.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(2xy)=2y (trata y como constante).
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(-4x^{2})=-8x.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(-y^{2})=0.
  • Portanto
\frac{\partial z}{\partial x}=6x^{2}+2y-8x.
  • Derivando em relação a y:
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(2x^{3})=0.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(-4x^{2})=0.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(-y^{2})=-2y.
  • Portanto
\frac{\partial z}{\partial y}=2x-2y.

Passo 4

Resolver o sistema \frac{\partial z}{\partial x}=0,\; \frac{\partial z}{\partial y}=0 (detalhando álgebra):
  • O sistema é
6x^{2}+2y-8x=0,
2x-2y=0.
  • Simplifico dividindo por 2 cada equação:
3x^{2}+y-4x=0,
x-y=0.
  • Da segunda equação segue diretamente
y=x.
  • Substituo y=x na primeira:
3x^{2}+x-4x=0 \quad\Rightarrow\quad 3x^{2}-3x=0.
  • Fatoreando:
3x(x-1)=0,
logo as soluções em x são x=0 ou x=1. Como y=x, obtemos os pontos críticos
(x,y)=(0,0)\quad\text{e}\quad(x,y)=(1,1).

Passo 5

Cálculo das segundas derivadas (Hessiano) e preparação para classificar:
  • Definição dos termos do Hessiano (cada um explicado):
    • \dfrac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} é a derivada parcial segunda em relação a x, chamada z_{xx}.
    • \dfrac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} é z_{yy}.
    • \dfrac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y} é z_{xy} (mista).
  • Calculo:
    • A partir de \frac{\partial z}{\partial x}=6x^{2}+2y-8x, deriva-se em x:
    z_{xx}=12x-8.
    • A partir de \frac{\partial z}{\partial y}=2x-2y, deriva-se em y:
    z_{yy}=-2.
    • A derivada mista (por exemplo z_{xy}) pegando \frac{\partial z}{\partial x} e derivando em y:
    z_{xy}=2.
  • O determinante do Hessiano (denotado D) em um ponto (x,y) é
D = z_{xx}\,z_{yy} - (z_{xy})^{2}.
  • Interpretação do teste das segundas derivadas (explicação):
    • Se D>0 e z_{xx}>0 então ponto é mínimo local.
    • Se D>0 e z_{xx}<0 então ponto é máximo local.
    • Se D<0 então ponto é ponto de sela.
    • Se D=0 o teste é inconclusivo.

Passo 6

Aplicar o teste em cada ponto crítico (cálculos detalhados):
  • Primeiro, expressão geral para D:
    • Substituindo z_{xx}=12x-8, z_{yy}=-2 e z_{xy}=2,
    D=(12x-8)(-2)-2^{2} = -24x+16-4 = -24x+12.
  • Avaliando em (0,0) ( x=0):
    • D(0,0) = -24\cdot 0 +12 = 12 > 0.
    • z_{xx}(0,0)=12\cdot 0 -8 = -8 < 0.
    • Como D>0 e z_{xx}<0, segue que (0,0) é um máximo local.
  • Avaliando em (1,1) ( x=1):
    • D(1,1) = -24\cdot 1 +12 = -12 < 0.
    • Quando D<0 a conclusão é que o ponto é um ponto de sela.
    • Não é necessário usar z_{xx} aqui porque D<0 já garante sela.

Passo 7

Observações finais e incentivo:
  • Encontramos exatamente dois pontos críticos e conseguimos classificá-los pelo teste das segundas derivadas.
  • Se ficar inseguro na prova: calcule sempre as derivadas parciais com calma, reduza os fatores simples (como dividir por 2), substitua uma equação na outra quando possível e calcule o determinante do Hessiano para a classificação. Você já tem prática de fatoração simples; isso costuma resolver o sistema rápido.

Resposta

(0,0) — máximo local
(1,1) — ponto de sela

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