(2,0 pontos) Determine em que altura (em metros) a pressão atmosférica se reduz a um quinto da pressão ao nível do mar (H=0). Admita que a aceleração gravitacional seja \boldsymbol{g}=\mathbf{9}, \mathbf{8 m} / \mathbf{s}^{\mathbf{2}} constante ao longo de toda a altura, que a densidade do ar à superfície valha \boldsymbol{\mu}_{0}=\mathbf{1 , 2} \mathbf{~ k g} / \mathbf{m}^{3} e que a pressão ao nível do mar valha 102000 Pa .

Passo 1

O enunciado pede: determinar a altura h (em metros) na qual a pressão atmosférica se reduz a um quinto da pressão ao nível do mar. Dados fornecidos:
  • pressão ao nível do mar: p_0=102000\\ \text{Pa};
  • aceleração gravitacional (constante): g=9,8\\ \text{m/s}^{2};
  • densidade do ar à superfície: \mu_0=1,2\\ \text{kg/m}^{3}.
    O que se quer: encontrar h tal que p(h)=\dfrac{1}{5}p_0.

Passo 2

Conceito físico que vamos usar (hidrostática): a variação da pressão com a altura para um fluido em equilíbrio é dada pela equação
\frac{dp}{dh}=-\mu(h)\,g,
onde:
  • p=p(h) é a pressão a altura h,
  • \mu(h) é a densidade do ar na altura h,
  • g é a aceleração da gravidade (positiva) e o sinal negativo indica que a pressão decresce quando h aumenta.
Breve derivação física (intuição): considere uma pequena camada do fluido de espessura dh e área A. A diferença de pressão entre a base e o topo desta camada fornece a força vertical que equilibra o peso da camada. Fazendo balanço de forças chega-se a \,dp=-\mu g\,dh.

Passo 3

Escolha do modelo/assunção: o enunciado fornece \mu_0 (densidade à superfície) e não dá temperatura nem composição do ar, portanto adotamos a aproximação mais simples que costuma ser pedida em provas elementares: assumir a densidade constante igual a \mu_0 (ou seja, o ar é tratado como incompressível nesse cálculo). Isso transforma a equação em
\frac{dp}{dh}=-\mu_0 g.
Agora integramos essa equação entre h=0 (nível do mar) e uma altura h, com p(0)=p_0 e p(h) arbitrária:
\int_{p_0}^{p(h)} dp = \int_{0}^{h} -\mu_0 g\,dh.
Executando as integrais obtemos
p(h)-p_0 = -\mu_0 g\,h.

Passo 4

Usar a condição desejada p(h)=\dfrac{1}{5}p_0. Substituindo em p(h)-p_0 = -\mu_0 g\,h:
\frac{1}{5}p_0 - p_0 = -\mu_0 g\,h.
O lado esquerdo é -\dfrac{4}{5}p_0, então
-\frac{4}{5}p_0 = -\mu_0 g\,h.
Eliminando sinais negativos,
h = \frac{\tfrac{4}{5}p_0}{\mu_0 g} = \frac{0,8\,p_0}{\mu_0 g}.
Agora substituímos os valores numéricos dados:
p_0=102000\\ \text{Pa},\qquad \mu_0=1,2\\ \text{kg/m}^3,\qquad g=9,8\\ \text{m/s}^2.
Calcule o numerador:
0,8\,p_0 = 0,8\times102000 = 81600\\ \text{Pa}.
Calcule o denominador:
\mu_0 g = 1,2\times 9,8 = 11,76\\ \text{kg/(m}^2\text{s}^2)=11,76\\ \text{Pa/m}.
Portanto
h=\frac{81600}{11,76}\\ \text{m}\approx 6938,78\\ \text{m}.
Arredondando para uma precisão razoável temos h\approx 6940\\ \text{m}.

Passo 5

Comentário didático final e dica de prova: tratamos o ar como incompressível (densidade constante) porque foi fornecida \mu_0 e não houve dados sobre temperatura ou massa molar. Essa aproximação é razoável para exercícios elementares e facilita os cálculos — só que, na atmosfera real, o ar é compressível e a pressão decresce exponencialmente com a altura (fórmula barométrica). Se na prova houvesse temperatura constante e massa molecular conhecida, a abordagem correta seria usar a fórmula barométrica
p(h)=p_0\exp\!\big(-\tfrac{M g h}{R T}\big),
mas isso exige outros dados. Vai dar tudo certo — você já tem o procedimento passo a passo para a hipótese pedida aqui!

Resposta

h\approx 6938,78\\ \text{m}

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