(2,0 pontos) Determine em que altura (em metros) a pressão atmosférica se reduz a um quinto da pressão ao nível do mar
. Admita que a aceleração gravitacional seja
constante ao longo de toda a altura, que a densidade do ar à superfície valha
e que a pressão ao nível do mar valha 102000 Pa .
Passo 1
O enunciado pede: determinar a altura
(em metros) na qual a pressão atmosférica se reduz a um quinto da pressão ao nível do mar. Dados fornecidos:
- pressão ao nível do mar:
; - aceleração gravitacional (constante):
; - densidade do ar à superfície:
.
O que se quer: encontrartal que .
Passo 2
Conceito físico que vamos usar (hidrostática): a variação da pressão com a altura para um fluido em equilíbrio é dada pela equação
onde:
-
é a pressão a altura , -
é a densidade do ar na altura , -
é a aceleração da gravidade (positiva) e o sinal negativo indica que a pressão decresce quando aumenta.
Breve derivação física (intuição): considere uma pequena camada do fluido de espessura
e área
. A diferença de pressão entre a base e o topo desta camada fornece a força vertical que equilibra o peso da camada. Fazendo balanço de forças chega-se a
.
Passo 3
Escolha do modelo/assunção: o enunciado fornece
(densidade à superfície) e não dá temperatura nem composição do ar, portanto adotamos a aproximação mais simples que costuma ser pedida em provas elementares: assumir a densidade constante igual a
(ou seja, o ar é tratado como incompressível nesse cálculo). Isso transforma a equação em
Agora integramos essa equação entre
(nível do mar) e uma altura
, com
e
arbitrária:
Executando as integrais obtemos
Passo 4
Usar a condição desejada
. Substituindo em
:
O lado esquerdo é
, então
Eliminando sinais negativos,
Agora substituímos os valores numéricos dados:
Calcule o numerador:
Calcule o denominador:
Portanto
Arredondando para uma precisão razoável temos
.
Passo 5
Comentário didático final e dica de prova: tratamos o ar como incompressível (densidade constante) porque foi fornecida
e não houve dados sobre temperatura ou massa molar. Essa aproximação é razoável para exercícios elementares e facilita os cálculos — só que, na atmosfera real, o ar é compressível e a pressão decresce exponencialmente com a altura (fórmula barométrica). Se na prova houvesse temperatura constante e massa molecular conhecida, a abordagem correta seria usar a fórmula barométrica
mas isso exige outros dados. Vai dar tudo certo — você já tem o procedimento passo a passo para a hipótese pedida aqui!