(2,0 pontos) Um macaco hidráulico consiste de 2 pistões conectados por um tubo. O pistão maior tem 1,5 m de raio e o menor tem 8 cm de raio. Qual a força mínima, em Newtons, que deve ser aplicada no pistão menor para que sobre o maior seja suspenso um automóvel de 1,5 tonelada?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Dados do enunciado:
- Raio do pistão maior:
. - Raio do pistão menor:
. - Massa do automóvel:
.
- Raio do pistão maior:
- O que o enunciado pede:
- A força mínima, em Newtons, que deve ser aplicada no pistão menor para suspender o automóvel sobre o pistão maior.
Passo 2
Princípio que vamos usar (explicação didática e simples):
- Em um macaco hidráulico a pressão é transmitida igualmente pelo fluido. Isso significa que a pressão sob o pistão pequeno é igual à pressão sob o pistão grande.
- Definindo:
-
= força aplicada no pistão pequeno (que queremos encontrar), -
= força que o pistão grande precisa exercer para sustentar o carro (esta é o peso do carro), -
= área do pistão pequeno, -
= área do pistão grande.
-
- A igualdade de pressões escreve-se como
- Isolando
obtemos
- A área de um pistão circular é
. Como aparece tanto em quanto em , ele se cancela no quociente, ficando
- Além disso, a força que o pistão grande deve sustentar é o peso do carro:
onde
é a massa do carro e
a aceleração da gravidade.
Passo 3
Converter a massa e os raios para unidades do Sistema Internacional e escrever as expressões que vamos calcular.
- Massa do carro:
- Aceleração da gravidade (usar o valor padrão aproximado):
- Raios já convertidos:
- Substituindo nas fórmulas temos a relação final útil:
Passo 4
Calcular os termos numéricos passo a passo.
- Primeiro o peso (força que deve ser suportada):
- Agora os quadrados dos raios:
- Razão das áreas (sem o
):
Passo 5
Calcular a força no pistão pequeno multiplicando o peso pela razão das áreas.
Passo 6
Interpretação rápida e dica para a prova:
- O resultado é pequeno porque o pistão grande é muito maior que o pequeno; com uma pequena força no pistão pequeno produz-se uma pressão que, multiplicada pela grande área do pistão maior, sustenta o carro.
- Em provas, faça sempre: (i) converter unidades, (ii) escrever a igualdade de pressões, (iii) simplificar
, (iv) calcular e a razão . Isso evita erros bobos.