(2,0 pontos) Um macaco hidráulico consiste de 2 pistões conectados por um tubo. O pistão maior tem 1,5 m de raio e o menor tem 8 cm de raio. Qual a força mínima, em Newtons, que deve ser aplicada no pistão menor para que sobre o maior seja suspenso um automóvel de 1,5 tonelada?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados do enunciado:
    • Raio do pistão maior: R=1{,}5\\ \text{m}.
    • Raio do pistão menor: r=8\\ \text{cm}=0{,}08\\ \text{m}.
    • Massa do automóvel: 1{,}5\\ \text{tonelada}.
  • O que o enunciado pede:
    • A força mínima, em Newtons, que deve ser aplicada no pistão menor para suspender o automóvel sobre o pistão maior.

Passo 2

Princípio que vamos usar (explicação didática e simples):
  • Em um macaco hidráulico a pressão é transmitida igualmente pelo fluido. Isso significa que a pressão sob o pistão pequeno é igual à pressão sob o pistão grande.
  • Definindo:
    • F_{\text{p}} = força aplicada no pistão pequeno (que queremos encontrar),
    • F_{\text{G}} = força que o pistão grande precisa exercer para sustentar o carro (esta é o peso do carro),
    • A_{\text{p}} = área do pistão pequeno,
    • A_{\text{G}} = área do pistão grande.
  • A igualdade de pressões escreve-se como
\frac{F_{\text{p}}}{A_{\text{p}}}=\frac{F_{\text{G}}}{A_{\text{G}}}.
  • Isolando F_{\text{p}} obtemos
F_{\text{p}}=F_{\text{G}}\cdot\frac{A_{\text{p}}}{A_{\text{G}}}.
  • A área de um pistão circular é A=\pi r^2. Como aparece \pi tanto em A_{\text{p}} quanto em A_{\text{G}}, ele se cancela no quociente, ficando
\frac{A_{\text{p}}}{A_{\text{G}}}=\frac{\pi r^{2}}{\pi R^{2}}=\frac{r^{2}}{R^{2}}.
  • Além disso, a força que o pistão grande deve sustentar é o peso do carro:
F_{\text{G}}=m g,
onde m é a massa do carro e g a aceleração da gravidade.

Passo 3

Converter a massa e os raios para unidades do Sistema Internacional e escrever as expressões que vamos calcular.
  • Massa do carro:
m=1{,}5\\ \text{tonelada}=1{,}5\times10^{3}\\ \text{kg}=1500\\ \text{kg}.
  • Aceleração da gravidade (usar o valor padrão aproximado):
g=9{,}8\\ \text{m/s}^{2}.
  • Raios já convertidos:
r=0{,}08\\ \text{m},\qquad R=1{,}5\\ \text{m}.
  • Substituindo nas fórmulas temos a relação final útil:
F_{\text{p}} = (m g)\cdot\frac{r^{2}}{R^{2}}.

Passo 4

Calcular os termos numéricos passo a passo.
  • Primeiro o peso (força que deve ser suportada):
F_{\text{G}}=m g = 1500\cdot9{,}8 = 14700\\ \text{N}.
  • Agora os quadrados dos raios:
r^{2}=(0{,}08)^{2}=0{,}0064\\ \text{m}^{2}, \qquad R^{2}=(1{,}5)^{2}=2{,}25\\ \text{m}^{2}.
  • Razão das áreas (sem o \pi):
\frac{r^{2}}{R^{2}}=\frac{0{,}0064}{2{,}25}\approx0{,}002844\ldots

Passo 5

Calcular a força no pistão pequeno multiplicando o peso pela razão das áreas.
F_{\text{p}} = 14700 \times 0{,}002844\ldots \approx 41{,}8\\ \text{N}.

Passo 6

Interpretação rápida e dica para a prova:
  • O resultado é pequeno porque o pistão grande é muito maior que o pequeno; com uma pequena força no pistão pequeno produz-se uma pressão que, multiplicada pela grande área do pistão maior, sustenta o carro.
  • Em provas, faça sempre: (i) converter unidades, (ii) escrever a igualdade de pressões, (iii) simplificar \pi, (iv) calcular m g e a razão r^{2}/R^{2}. Isso evita erros bobos.

Resposta

41{,}8\\ \text{N}

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