(2,0 pontos) Um corpo sobe no interior de um líquido com aceleração de um quarto do valor da aceleração gravitacional. Sabendo que a densidade do líquido é de \mathbf{8 0 0} \mathbf{~ k g} / \boldsymbol{m}^{3}, determine a densidade do corpo.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais informações foram dadas.
  • O enunciado informa que um corpo sobe no interior de um líquido com aceleração igual a um quarto do valor da aceleração gravitacional. Ou seja, a aceleração do corpo é \displaystyle a=\frac{g}{4}, dirigida para cima.
  • A densidade do líquido é \displaystyle \rho_{\ell}=800\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • O que se pede: determinar a densidade do corpo (vou chamar de \rho_{c}).
Dados relevantes listados:
  • \displaystyle a=\frac{g}{4}.
  • \displaystyle \rho_{\ell}=800\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Procurar \displaystyle \rho_{c}.

Passo 2

Entendendo as forças que atuam no corpo (aula rápida e prática).
Quando um corpo está dentro de um líquido há duas forças verticais principais:
  1. Peso do corpo para baixo: \displaystyle W=m g. Se escrever o peso em termos de densidade e volume, com V volume do corpo e \rho_{c} sua densidade, então
W=\rho_{c} V g.
Explicação: m=\rho_{c}V porque massa = densidade × volume; depois multiplica por g para obter o peso.
  1. Força de empuxo (para cima) dada pelo princípio de empuxo (Arquimedes): o empuxo é igual ao peso do fluido deslocado,
B=\rho_{\ell} V g.
Aqui usei que o corpo está totalmente (ou parcialmente) imerso deslocando volume V do fluido; B aponta para cima. Expliquei o significado de cada símbolo: \rho_{\ell} é densidade do líquido, V é volume deslocado (aqui igual ao volume imerso) e g é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Aplicando a segunda lei de Newton (como usar isso na prova).
Escolhendo sentido positivo para cima, a resultante das forças verticais é
\text{resultante} = B - W.
Pela segunda lei, essa resultante é igual a m a. Substituindo m=\rho_{c}V, B=\rho_{\ell}Vg e W=\rho_{c}Vg, temos
B - W = \rho_{c} V a.
Agora substituindo as expressões:
\rho_{\ell} V g - \rho_{c} V g = \rho_{c} V a.
Note que V aparece em todos os termos; como V\neq0 podemos dividir por V sem problema:
\rho_{\ell} g - \rho_{c} g = \rho_{c} a.

Passo 4

Isolando \rho_{c} (passo algébrico detalhado).
A equação do passo anterior é
\rho_{\ell} g - \rho_{c} g = \rho_{c} a.
Coloco os termos com \rho_{c} no mesmo lado:
\rho_{\ell} g = \rho_{c} g + \rho_{c} a.
Fatorando \rho_{c} no lado direito:
\rho_{\ell} g = \rho_{c} (g + a).
Logo
\rho_{c} = \frac{\rho_{\ell} g}{g + a}.
Observação útil para prova: note que g pode cancelar parcialmente se a relação entre a e g for dada; não é preciso conhecer o valor numérico de g para prosseguir quando a é dado em múltiplos de g.

Passo 5

Substituindo a=\dfrac{g}{4} e calculando numericamente.
Substituo a=\dfrac{g}{4} na fórmula:
\rho_{c} = \frac{\rho_{\ell} g}{g + \dfrac{g}{4}}.
Coloco g em evidência no denominador:
\rho_{c} = \frac{\rho_{\ell} g}{g\!\left(1 + \dfrac{1}{4}\right)}.
Cancelo g:
\rho_{c} = \frac{\rho_{\ell}}{1 + \dfrac{1}{4}}=\frac{\rho_{\ell}}{\dfrac{5}{4}}=\rho_{\ell}\cdot\frac{4}{5}.
Agora uso o valor numérico \rho_{\ell}=800\\ \mathrm{kg/m^{3}}:
\rho_{c}=800\cdot\frac{4}{5}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Faço a conta passo a passo: \dfrac{4}{5}=0{,}8, então 800\cdot0{,}8=640.

Passo 6

Interpretação final e dica de prova (curtinha e motivadora).
O resultado dá \rho_{c}=640\\ \mathrm{kg/m^{3}}, que é menor que \rho_{\ell}=800\\ \mathrm{kg/m^{3}}, por isso o corpo flutua para cima (empuxo maior que o peso) e acelera para cima até alcançar uma velocidade terminal ou nova posição de equilíbrio. Dica para a prova: escreva sempre as forças, substitua massa por \rho V e cancele V quando aparecer em todos os termos — isso simplifica muito as contas.

Resposta

640\\ \mathrm{kg/m^{3}}

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