( 3.0 pontos) Determine se o campo
a) for conservativo.
b) admite potencial vetor.
c) Determine o trabalho necessário para ir do ponto (
) até o ponto
.
b) admite potencial vetor.
c) Determine o trabalho necessário para ir do ponto (
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede:
- (a) Determinar se o campo é conservativo.
- (b) Determinar se admite potencial vetor (isto é, se existe
tal que ). - (c) Calcular o trabalho de
até .
As informações relevantes fornecidas são as componentes do campo:
Passo 2
Critério prático para verificar se um campo
é conservativo em
(domínio simplesmente conectado): calcular o rotor
. Se
em todo o domínio, então
é conservativo. O rotor em coordenadas cartesianas é dado por
onde
, etc. Vou calcular cada derivada parcial necessária:
Calcule
e
:
logo
Calcule
e
:
logo
Calcule
e
:
logo
Portanto
Passo 3
Como
e o domínio natural do campo é
(que é simplesmente conectado), concluímos que
é conservativo. Para achar um potencial escalar
tal que
, escrevemos as condições
Integramos
em relação a
:
onde
é uma função arbitrária que surge da integração.
Agora impomos
. Diferenciando a expressão acima em
:
Comparando com
obtemos
. Assim
é independente de
, ou seja
.
Finalmente impondo
, temos
logo
e integrando
, com
constante.
Portanto um potencial escalar é
Passo 4
Agora a pergunta (b) pede se
admite potencial vetor
com
. Uma condição necessária (e fácil de verificar) para a existência de
em um domínio simples é que a divergência de
seja zero, porque
. Calculo a divergência:
Calcule cada termo:
Somando,
Como a divergência não é zero, não existe
tal que
em todo
. Portanto
não admite potencial vetor.
Passo 5
Para calcular o trabalho da força conservativa
ao longo de qualquer curva que vá de
até
, basta usar a diferença dos potenciais:
Usando o potencial encontrado em
Passo 6
Calcule
nos pontos:
Para
:
Para
:
Logo o trabalho é
Resposta
a) Sim — potencial escalar
.
b) Não — não admite potencial vetor (pois ).
c) .
b) Não — não admite potencial vetor (pois
c)