( 3.0 pontos) Determine se o campo
\vec{F}(x, y, z)=\left(e^{x} \cos y+y z\right) \vec{i}+\left(x z-e^{x} \sin y\right) \vec{j}+(x y+z) \vec{k}:
a) for conservativo.
b) admite potencial vetor.
c) Determine o trabalho necessário para ir do ponto ( 0,0,0 ) até o ponto \left(1, \frac{\pi}{2}, 1\right).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=\bigl(e^{x}\cos y+y z\bigr)\,\vec{i}+\bigl(x z-e^{x}\sin y\bigr)\,\vec{j}+\bigl(x y+z\bigr)\,\vec{k}
e pede:
  1. (a) Determinar se o campo é conservativo.
  2. (b) Determinar se admite potencial vetor (isto é, se existe \vec{A} tal que \nabla\times\vec{A}=\vec{F}).
  3. (c) Calcular o trabalho de (0,0,0) até \left(1,\frac{\pi}{2},1\right).
As informações relevantes fornecidas são as componentes do campo:
P(x,y,z)=e^{x}\cos y+y z,\quad Q(x,y,z)=x z-e^{x}\sin y,\quad R(x,y,z)=x y+z.

Passo 2

Critério prático para verificar se um campo \vec{F}=(P,Q,R) é conservativo em \mathbb{R}^3 (domínio simplesmente conectado): calcular o rotor \nabla\times\vec{F}. Se \nabla\times\vec{F}=\vec{0} em todo o domínio, então \vec{F} é conservativo. O rotor em coordenadas cartesianas é dado por
\nabla\times\vec{F}=\bigl(R_{y}-Q_{z}\bigr)\,\vec{i}+\bigl(P_{z}-R_{x}\bigr)\,\vec{j}+\bigl(Q_{x}-P_{y}\bigr)\,\vec{k},
onde R_{y}=\partial R/\partial y, etc. Vou calcular cada derivada parcial necessária:
Calcule R_{y} e Q_{z}:
R_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(x y+z)=x,\qquad Q_{z}=\frac{\partial}{\partial z}(x z-e^{x}\sin y)=x,
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R_{y}-Q_{z}=x-x=0.
Calcule P_{z} e R_{x}:
P_{z}=\frac{\partial}{\partial z}(e^{x}\cos y+y z)=y,\qquad R_{x}=\frac{\partial}{\partial x}(x y+z)=y,
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P_{z}-R_{x}=y-y=0.
Calcule Q_{x} e P_{y}:
Q_{x}=\frac{\partial}{\partial x}(x z-e^{x}\sin y)=z-e^{x}\sin y,
P_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(e^{x}\cos y+y z)=-e^{x}\sin y+z,
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Q_{x}-P_{y}=(z-e^{x}\sin y)-(-e^{x}\sin y+z)=0.
Portanto
\nabla\times\vec{F}=\vec{0}.

Passo 3

Como \nabla\times\vec{F}=\vec{0} e o domínio natural do campo é \mathbb{R}^{3} (que é simplesmente conectado), concluímos que \vec{F} é conservativo. Para achar um potencial escalar \varphi tal que \nabla\varphi=\vec{F}, escrevemos as condições
\phi_{x}=P=e^{x}\cos y+y z,\qquad \phi_{y}=Q=x z-e^{x}\sin y,\qquad \phi_{z}=R=x y+z.
Integramos \phi_{x} em relação a x:
\varphi(x,y,z)=\int\bigl(e^{x}\cos y+y z\bigr)\,dx=e^{x}\cos y+x y z+h(y,z),
onde h(y,z) é uma função arbitrária que surge da integração.
Agora impomos \phi_{y}=Q. Diferenciando a expressão acima em y:
\phi_{y}=-e^{x}\sin y+x z+h_{y}(y,z).
Comparando com Q=x z-e^{x}\sin y obtemos h_{y}(y,z)=0. Assim h é independente de y, ou seja h(y,z)=k(z).
Finalmente impondo \phi_{z}=R, temos
\phi_{z}=x y+k'(z)=x y+z,
logo k'(z)=z e integrando k(z)=\dfrac{z^{2}}{2}+C, com C constante.
Portanto um potencial escalar é
\varphi(x,y,z)=e^{x}\cos y+x y z+\frac{z^{2}}{2}+C.

Passo 4

Agora a pergunta (b) pede se \vec{F} admite potencial vetor \vec{A} com \nabla\times\vec{A}=\vec{F}. Uma condição necessária (e fácil de verificar) para a existência de \vec{A} em um domínio simples é que a divergência de \vec{F} seja zero, porque \nabla\cdot(\nabla\times\vec{A})\equiv 0. Calculo a divergência:
\nabla\cdot\vec{F}=P_{x}+Q_{y}+R_{z}.
Calcule cada termo:
P_{x}=\frac{\partial}{\partial x}(e^{x}\cos y+y z)=e^{x}\cos y,
Q_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(x z-e^{x}\sin y)=-e^{x}\cos y,
R_{z}=\frac{\partial}{\partial z}(x y+z)=1.
Somando,
\nabla\cdot\vec{F}=e^{x}\cos y-e^{x}\cos y+1=1\neq 0.
Como a divergência não é zero, não existe \vec{A} tal que \nabla\times\vec{A}=\vec{F} em todo \mathbb{R}^{3}. Portanto \vec{F} não admite potencial vetor.

Passo 5

Para calcular o trabalho da força conservativa \vec{F} ao longo de qualquer curva que vá de A=(0,0,0) até B=\left(1,\frac{\pi}{2},1\right), basta usar a diferença dos potenciais:
W=\varphi(B)-\varphi(A).
Usando o potencial encontrado em

Passo 6

\varphi(x,y,z)=e^{x}\cos y+x y z+\frac{z^{2}}{2}.
Calcule \varphi nos pontos:
Para B=\left(1,\frac{\pi}{2},1\right):
\varphi\!\left(1,\frac{\pi}{2},1\right)=e^{1}\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)+1\cdot\frac{\pi}{2}\cdot 1+\frac{1^{2}}{2}=0+\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}.
Para A=(0,0,0):
\varphi(0,0,0)=e^{0}\cos 0+0+\frac{0}{2}=1.
Logo o trabalho é
W=\left(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\right)-1=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}.

Resposta

a) Sim — potencial escalar \varphi(x,y,z)=e^{x}\cos y+x y z+\dfrac{z^{2}}{2}+C.
b) Não — não admite potencial vetor (pois \nabla\cdot\vec{F}=1\neq0).
c) W=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{1}{2}.

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