Questão 3.
(11 P.) Considere a função h tal que \left(e^{-x^{2}} * h\right)(x)=e^{-3 x^{2}}.
(a) Calcule \hat{h}(\omega).
(b) Determine h(x).

Passo 1

O enunciado dá a igualdade entre uma convolução e uma função gaussiana:
\left(e^{-x^{2}} * h\right)(x)=e^{-3 x^{2}}.
Pede-se:
(a) calcular \hat{h}(\omega) (a transformada de Fourier de h);\n
(b) determinar h(x) (a função original, obtida por transformada inversa).\n
Informações relevantes extraídas do enunciado: temos a função e^{-x^{2}} convoluída com h e o resultado é e^{-3x^{2}}. Não há outras restrições explícitas sobre h.

Passo 2

Vou escolher a convenção de transformada de Fourier sem fatores de normalização na transformada direta e com 1/(2\pi) na inversa:
\hat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i\omega x}\,dx, \qquad f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)e^{i\omega x}\,d\omega.
Uma fórmula fundamental que vamos usar é a transformada da gaussiana. Para \Re(a)>0 vale (esta fórmula é obtida completando o quadrado e usando a integral gaussiana clássica)
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^{2}} e^{-i\omega x}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\;e^{-\frac{\omega^{2}}{4a}}.
Aqui a é o coeficiente que aparece em e^{-a x^{2}}. Vou aplicar essa identidade aos casos que aparecem na questão.

Passo 3

Usamos o Teorema da Convolução (propriedade da transformada de Fourier): a transformada da convolução é o produto das transformadas:
\widehat{f*g}(\omega)=\hat{f}(\omega)\,\hat{g}(\omega).
Aplicando isso à igualdade do enunciado,
\widehat{e^{-x^{2}} * h}(\omega)=\widehat{e^{-3x^{2}}}(\omega).
Pelo teorema da convolução,
\widehat{e^{-x^{2}}}(\omega)\;\hat{h}(\omega)=\widehat{e^{-3x^{2}}}(\omega).
Então isolamos \hat{h}(\omega):
\hat{h}(\omega)=\frac{\widehat{e^{-3x^{2}}}(\omega)}{\widehat{e^{-x^{2}}}(\omega)}.

Passo 4

Calculo agora as transformadas usando a fórmula da gaussiana com a=1 e a=3.
Para a=1 (i.e. e^{-x^{2}}):
\widehat{e^{-x^{2}}}(\omega)=\sqrt{\frac{\pi}{1}}\;e^{-\frac{\omega^{2}}{4\cdot1}}=\sqrt{\pi}\;e^{-\frac{\omega^{2}}{4}}.
Para a=3 (i.e. e^{-3x^{2}}):
\widehat{e^{-3x^{2}}}(\omega)=\sqrt{\frac{\pi}{3}}\;e^{-\frac{\omega^{2}}{4\cdot3}}=\sqrt{\frac{\pi}{3}}\;e^{-\frac{\omega^{2}}{12}}.
Dividindo:
\hat{h}(\omega) =\frac{\sqrt{\frac{\pi}{3}}\;e^{-\frac{\omega^{2}}{12}}}{\sqrt{\pi}\;e^{-\frac{\omega^{2}}{4}}} =\frac{1}{\sqrt{3}}\;e^{-\frac{\omega^{2}}{12}+\frac{\omega^{2}}{4}}.
Calcule o expoente:
-\frac{1}{12}+\frac{1}{4}=\frac{-1+3}{12}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}.
Portanto
\boxed{\hat{h}(\omega)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\;e^{\frac{\omega^{2}}{6}}.}

Passo 5

Agora precisamos obter h(x) pela transformada inversa. Note que \hat{h}(\omega) cresce como uma gaussiana com expoente positivo, então h não será uma função de decaimento clássico (é uma função/distribuição obtida por continuação analítica). Ainda assim podemos reconhecer \hat{h} como (constante vezes) a transformada de uma gaussiana com parâmetro negativo a.
Queremos escrever \hat{h}(\omega) na forma \alpha\;\widehat{e^{-a x^{2}}}(\omega) para algum a. Usando a fórmula da gaussiana vemos que, para a qualquer (possivelmente complexo),
\widehat{e^{-a x^{2}}}(\omega)=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\;e^{-\frac{\omega^{2}}{4a}}.
Comparando a parte exponencial com e^{\omega^{2}/6} vemos que devemos ter
-\frac{1}{4a}=\frac{1}{6}\quad\Longrightarrow\quad a=-\frac{3}{2}.
Com esse a a parte exponencial bate. Agora achamos a constante \alpha tal que
\hat{h}(\omega)=\alpha\;\widehat{e^{-a x^{2}}}(\omega).
Como \widehat{e^{-a x^{2}}}(\omega)=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\,e^{\omega^{2}/6} (com a=-3/2), temos
\alpha=\frac{\hat{h}(\omega)}{\widehat{e^{-a x^{2}}}(\omega)} =\frac{\dfrac{1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}} =\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{\sqrt{\pi/a}}.
Com a=-\dfrac{3}{2} obtemos
\sqrt{\frac{\pi}{a}}=\sqrt{\frac{\pi}{-3/2}}=\sqrt{-\frac{2\pi}{3}}=i\sqrt{\frac{2\pi}{3}},
portanto
\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{i\sqrt{\dfrac{2\pi}{3}}} =\frac{1}{i\sqrt{2\pi}}.
Pelo princípio da transformada inversa (linearidade), se \hat{h}=\alpha\widehat{e^{-a x^{2}}} então h=\alpha\,e^{-a x^{2}}. Substituindo a=-\dfrac{3}{2} e \alpha=\dfrac{1}{i\sqrt{2\pi}} obtemos
h(x)=\frac{1}{i\sqrt{2\pi}}\;e^{-(-\frac{3}{2})x^{2}} =\frac{1}{i\sqrt{2\pi}}\;e^{\frac{3}{2}x^{2}}.
Simplificando 1/i=-i resulta
\boxed{h(x)=-\dfrac{i}{\sqrt{2\pi}}\;e^{\frac{3}{2}x^{2}}.}
Comentário rápido (motivacional): dá para achar h por dois caminhos equivalentes — pela razão das transformadas (método curto) ou tentando um ansatz gaussiano e usando fórmula da convolução de gaussianas — ambos levam ao mesmo resultado (que é uma função que cresce, logo deve ser vista no sentido de distribuições). Você conseguiu — a parte técnica principal foi reconhecer e manipular as gaussianas!

Resposta

(a) \displaystyle \hat{h}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{3}}\;e^{\frac{\omega^{2}}{6}}\n
(b) \displaystyle h(x)=-\frac{i}{\sqrt{2\pi}}\;e^{\frac{3}{2}x^{2}}

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