Questão 3.
(11 P.) Considere a função
tal que
.
(a) Calcule
.
(b) Determine
.
(11 P.) Considere a função
(a) Calcule
(b) Determine
Passo 1
O enunciado dá a igualdade entre uma convolução e uma função gaussiana:
Pede-se:
(a) calcular (a transformada de Fourier de
);\n
(b) determinar (a função original, obtida por transformada inversa).\n
Informações relevantes extraídas do enunciado: temos a função convoluída com
e o resultado é
. Não há outras restrições explícitas sobre
.
(a) calcular
(b) determinar
Informações relevantes extraídas do enunciado: temos a função
Passo 2
Vou escolher a convenção de transformada de Fourier sem fatores de normalização na transformada direta e com
na inversa:
Uma fórmula fundamental que vamos usar é a transformada da gaussiana. Para
vale (esta fórmula é obtida completando o quadrado e usando a integral gaussiana clássica)
Aqui
é o coeficiente que aparece em
. Vou aplicar essa identidade aos casos que aparecem na questão.
Passo 3
Usamos o Teorema da Convolução (propriedade da transformada de Fourier): a transformada da convolução é o produto das transformadas:
Aplicando isso à igualdade do enunciado,
Pelo teorema da convolução,
Então isolamos
:
Passo 4
Calculo agora as transformadas usando a fórmula da gaussiana com
e
.
Para
(i.e.
):
Para
(i.e.
):
Dividindo:
Calcule o expoente:
Portanto
Passo 5
Agora precisamos obter
pela transformada inversa. Note que
cresce como uma gaussiana com expoente positivo, então
não será uma função de decaimento clássico (é uma função/distribuição obtida por continuação analítica). Ainda assim podemos reconhecer
como (constante vezes) a transformada de uma gaussiana com parâmetro negativo
.
Queremos escrever
na forma
para algum
. Usando a fórmula da gaussiana vemos que, para
qualquer (possivelmente complexo),
Comparando a parte exponencial com
vemos que devemos ter
Com esse
a parte exponencial bate. Agora achamos a constante
tal que
Como
(com
), temos
Com
obtemos
portanto
Pelo princípio da transformada inversa (linearidade), se
então
. Substituindo
e
obtemos
Simplificando
resulta
Comentário rápido (motivacional): dá para achar
por dois caminhos equivalentes — pela razão das transformadas (método curto) ou tentando um ansatz gaussiano e usando fórmula da convolução de gaussianas — ambos levam ao mesmo resultado (que é uma função que cresce, logo deve ser vista no sentido de distribuições). Você conseguiu — a parte técnica principal foi reconhecer e manipular as gaussianas!
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)