Exercício 1. Verifique, em cada um dos itens abaixo, se o subconjunto S do espaço vetorial (V,+, \cdot) é L.I. ou L.D.
S=\{(1,1,2),(-1,-1,-4),(1,1,0)\} e V=\mathbb{R}^{3}, munido das operações usuais.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o subconjunto S do espaço vetorial (V,+,\cdot) é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.).
As informações dadas são:
S=\{(1,1,2),\,(-1,-1,-4),\,(1,1,0)\}
e
V=\mathbb{R}^{3},
com as operações usuais.

Passo 2

Definição e ideia do que vamos fazer (explicação didática): uma coleção de vetores \{v_1,v_2,v_3\} é linearmente independente se a única solução para a combinação linear
\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3 = (0,0,0)
é \alpha=\beta=\gamma=0. Se existir uma solução com pelo menos um coeficiente diferente de zero (ou seja, uma solução não-trivial), então os vetores são linearmente dependentes.
Aqui vamos aplicar exatamente isso: escrever a combinação linear igual a (0,0,0), obter o sistema de equações linha a linha e resolver. Isso é um método básico e direto que dá pra fazer na prova sem calculadora.

Passo 3

Coloco os vetores do enunciado como v_1=(1,1,2), v_2=(-1,-1,-4) e v_3=(1,1,0). Escrevo a condição de combinação linear:
\alpha(1,1,2)+\beta(-1,-1,-4)+\gamma(1,1,0)=(0,0,0).
Agrupando componente a componente isso dá o sistema
\begin{cases} \alpha - \beta + \gamma = 0,\\[4pt] \alpha - \beta + \gamma = 0,\\[4pt] 2\alpha - 4\beta + 0\gamma = 0. \end{cases}
Observação: as duas primeiras equações são idênticas — isso já é uma pista de que teremos menos equações independentes que incógnitas, abrindo a possibilidade de solução não-trivial.]

Passo 4

Resolvo o sistema de forma clara e passo a passo. Da terceira equação:
2\alpha - 4\beta = 0 \quad\Rightarrow\quad \alpha - 2\beta = 0 \quad\Rightarrow\quad \alpha = 2\beta.
Substituo \alpha=2\beta na primeira equação:
(2\beta) - \beta + \gamma = 0 \quad\Rightarrow\quad \beta + \gamma = 0 \quad\Rightarrow\quad \gamma = -\beta.
Portanto as soluções do sistema são todas as tríades da forma
\alpha=2t,\quad \beta=t,\quad \gamma=-t,
com t\in\mathbb{R}. Se escolhemos t=1 obtemos a solução não-trivial
\alpha=2,\quad \beta=1,\quad \gamma=-1.

Passo 5

Escrevo explicitamente a combinação não-trivial encontrada para ficar bem claro (isto é a “prova construtiva” da dependência):
2(1,1,2)+1(-1,-1,-4)-1(1,1,0)=(0,0,0).
Também podemos reorganizar esta igualdade para ver que um dos vetores é combinação dos outros:
(1,1,0)=2(1,1,2)+(-1,-1,-4).
Encontrar uma combinação não-trivial que dá o vetor zero (ou expressar um dos vetores como combinação linear dos outros) é exatamente a condição para dependência linear.

Resposta

S é linearmente dependente.

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