(1,0 pontos) Determine a fórmula de Taylor de ordem 1 e centro a=(1,1) de f(x)= \ln \left(x_{1} x_{2}\right).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem começar a resolver ainda.
  • Função dada: \,f(x)=\ln\!\bigl(x_{1}x_{2}\bigr)\,, onde x=(x_{1},x_{2}).
  • Centro pedido para a expansão de Taylor de ordem 1: a=(1,1).
  • Pergunta: determinar a fórmula da série de Taylor de ordem 1 (polinômio linear de aproximação) de f em torno de a.
  • Observação sobre domínio (informação relevante): a função \ln exige x_{1}x_{2}>0, tipicamente considera-se x_{1}>0 e x_{2}>0 na vizinhança de a; o ponto a=(1,1) está nesse domínio.

Passo 2

O que é a fórmula de Taylor de ordem 1 para funções de duas variáveis e por que usá-la?
  • Definição (intuição): a fórmula de Taylor de ordem 1 dá a aproximação linear de f perto do ponto a. Escreve-se que, para x próximo de a,
f(x) \approx f(a) + \nabla f(a)\cdot (x-a),
onde \nabla f(a) é o gradiente de f em a e \cdot é o produto escalar entre vetores.
  • Interpretação das notações:
    • \,x=(x_{1},x_{2}) é o ponto onde queremos avaliar a aproximação.
    • \,a=(1,1) é o ponto de expansão.
    • \,\nabla f(a) = \bigl(\partial f/\partial x_{1}(a),\,\partial f/\partial x_{2}(a)\bigr) é o vetor das derivadas parciais no ponto a.
    • (x-a)=(x_{1}-1,x_{2}-1) é o deslocamento do ponto x em relação a a.
  • Portanto, para obter a fórmula de Taylor de ordem 1 basta calcular f(a) e \nabla f(a), e montar a expressão acima.

Passo 3

Calcular f(a).
  • Aplicando a definição de f em a=(1,1):
f(a)=\ln\!\bigl(1\cdot 1\bigr)=\ln(1)=0.
  • Comentário didático: f(a) é o valor da função no ponto de expansão; aqui é zero, o que simplifica a fórmula linear.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de f e o gradiente \nabla f(x).
  • Começar reescrevendo a função usando propriedade dos logaritmos, para facilitar as derivadas:
f(x)=\ln(x_{1}x_{2})=\ln(x_{1})+\ln(x_{2}).
  • Derivada parcial em relação a x_{1}:
    • A derivada de \ln(x_{1}) em relação a x_{1} é 1/x_{1}.
    • A parte \ln(x_{2}) é tratada como constante quando diferenciamos por x_{1}.
    • Portanto,
    \frac{\partial f}{\partial x_{1}}(x)=\frac{1}{x_{1}}.
  • Derivada parcial em relação a x_{2}:
    • De forma análoga,
    \frac{\partial f}{\partial x_{2}}(x)=\frac{1}{x_{2}}.
  • Assim o gradiente geral é
\nabla f(x)=\left(\frac{1}{x_{1}},\;\frac{1}{x_{2}}\right).
  • Observação didática sobre regra usada: foi usada a regra \dfrac{d}{du}\ln(u)=1/u e a linearidade da derivada (quando f separa em soma de funções de cada variável).

Passo 5

Avaliar o gradiente em a=(1,1) e montar a aproximação linear.
  • Avaliando as parciais em a:
\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(1,1)=\frac{1}{1}=1,\qquad \frac{\partial f}{\partial x_{2}}(1,1)=\frac{1}{1}=1.
  • Portanto
\nabla f(1,1)=(1,1).
  • Aplicando a fórmula de Taylor de ordem 1:
f(x)\approx f(1,1)+\nabla f(1,1)\cdot (x-a).
Substituindo f(1,1)=0, \nabla f(1,1)=(1,1) e (x-a)=(x_{1}-1,x_{2}-1), obtemos
T_{1}(x)=0 + (1,1)\cdot (x_{1}-1,x_{2}-1) = (x_{1}-1)+(x_{2}-1).
  • Simplificando:
T_{1}(x)=x_{1}+x_{2}-2.

Resposta

T_{1}(x)=x_{1}+x_{2}-2

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