(1,0 pontos) Determine a fórmula de Taylor de ordem 1 e centro
de
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem começar a resolver ainda.
- Função dada:
, onde . - Centro pedido para a expansão de Taylor de ordem 1:
. - Pergunta: determinar a fórmula da série de Taylor de ordem 1 (polinômio linear de aproximação) de
em torno de . - Observação sobre domínio (informação relevante): a função
exige , tipicamente considera-se e na vizinhança de ; o ponto está nesse domínio.
Passo 2
O que é a fórmula de Taylor de ordem 1 para funções de duas variáveis e por que usá-la?
- Definição (intuição): a fórmula de Taylor de ordem 1 dá a aproximação linear de
perto do ponto . Escreve-se que, para próximo de ,
onde
é o gradiente de
em
e
é o produto escalar entre vetores.
- Interpretação das notações:
-
é o ponto onde queremos avaliar a aproximação. -
é o ponto de expansão. -
é o vetor das derivadas parciais no ponto . -
é o deslocamento do ponto em relação a .
-
- Portanto, para obter a fórmula de Taylor de ordem 1 basta calcular
e , e montar a expressão acima.
Passo 3
Calcular
.
- Aplicando a definição de
em :
- Comentário didático:
é o valor da função no ponto de expansão; aqui é zero, o que simplifica a fórmula linear.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
e o gradiente
.
- Começar reescrevendo a função usando propriedade dos logaritmos, para facilitar as derivadas:
- Derivada parcial em relação a
: - A derivada de
em relação a é . - A parte
é tratada como constante quando diferenciamos por . - Portanto,
- A derivada de
- Derivada parcial em relação a
: - De forma análoga,
- Assim o gradiente geral é
- Observação didática sobre regra usada: foi usada a regra
e a linearidade da derivada (quando separa em soma de funções de cada variável).
Passo 5
Avaliar o gradiente em
e montar a aproximação linear.
- Avaliando as parciais em
:
- Portanto
- Aplicando a fórmula de Taylor de ordem 1:
Substituindo
,
e
, obtemos
- Simplificando: