(1,0 pontos) Determine o intervalo no qual o PVI abaixo
\left\{\begin{array}{l} \left(t^{2}-1\right) y^{\prime \prime}+(t-2) y=t \\\ y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=2 \end{array}\right.
admite uma única solução.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Enunciado: o problema fornece o problema de valor inicial (PVI)
\left\{\begin{array}{l} \left(t^{2}-1\right) y^{\prime \prime}+(t-2) y=t,\\[4pt] y(0)=1,\\[4pt] y'(0)=2, \end{array}\right.
e pede: determinar o intervalo onde esse PVI admite uma única solução.
  • Informações relevantes que já aparecem no enunciado:
    • O coeficiente que multiplica y'' é t^{2}-1.
    • As condições iniciais estão em t_{0}=0.
    • O termo do segundo membro é t.]

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão usada pelo teorema de existência e unicidade e identificar as funções que precisam ser contínuas.
  • Forma padrão para uma EDO linear de segunda ordem é
y''+p(t)y'+q(t)y=g(t),
onde p,q,g devem ser contínuas no intervalo que nos interessa para garantir existência e unicidade da solução com condições dadas em t_{0}.
  • Dividindo a equação dada por t^{2}-1 (desde que t^{2}-1\neq0) obtemos a forma padrão:
y''+\underbrace{0}_{p(t)}\,y'+\underbrace{\dfrac{t-2}{t^{2}-1}}_{q(t)}y=\underbrace{\dfrac{t}{t^{2}-1}}_{g(t)}.
Portanto:
  • p(t)=0 (que é contínua onde definida),
  • q(t)=\dfrac{t-2}{t^{2}-1},
  • g(t)=\dfrac{t}{t^{2}-1}.

Passo 3

Identificar os pontos onde p,q,g deixam de ser contínuas.
  • As possíveis descontinuidades vêm do denominador t^{2}-1=(t-1)(t+1). Assim t^{2}-1=0 em t=1 e t=-1.
  • Logo q(t) e g(t) (e também a divisão por t^{2}-1 usada para obter a forma padrão) não estão definidas em t=\pm1. Fora desses pontos, p,q,g são funções racionais e, portanto, contínuas.
  • Assim as porções do eixo real onde todas as funções são contínuas são os intervalos
(-\infty,-1),\quad (-1,1),\quad (1,\infty).

Passo 4

Aplicar o teorema de existência e unicidade ao ponto inicial t_{0}=0.
  • O teorema diz: se p,q,g são contínuas num intervalo que contém t_{0}, então existe uma única solução do PVI definida nesse intervalo.
  • O ponto t_{0}=0 pertence ao intervalo (-1,1).
  • Como p,q,g são contínuas em todo (-1,1), o teorema garante existência e unicidade da solução no intervalo (-1,1).
  • Não podemos garantir, pelo mesmo teorema, que a solução continue (de forma única e bem comportada) além de -1 ou 1, porque nestes pontos os coeficientes explodem (denominador nulo). Portanto o maior intervalo aberto que contém 0 onde a hipótese do teorema vale é (-1,1).

Resposta

(-1,1)

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