(2,5 pontos) Encontre a solução geral para as equações abaixo.
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=2 t+3 e^{2 t}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Enunciado: encontrar a solução geral da equação diferencial
y'' + y' - 2y = 2t + 3e^{2t}.
  • Informação importante: é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo independente (não-homogêneo) igual a 2t+3e^{2t}.
  • Objetivo final: encontrar a solução geral y(t), que é a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação não-homogênea.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero). A equação homogênea é
y'' + y' - 2y = 0.
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica: substituir y=e^{rt} leva a
r^2 + r - 2 = 0.
Agora resolvemos essa equação algébrica: fatorando,
r^2 + r - 2 = (r-1)(r+2)=0,
logo as raízes são r=1 e r=-2. Para raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{-2t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.
Pequena explicação didática: a equação característica traduz a tentativa y=e^{rt}; as raízes r indicam os expoentes das soluções exponenciais da homogênea.

Passo 3

Escolher um método para achar uma solução particular y_p. Vou usar o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients), apropriado quando o termo não-homogêneo é combinação de polinômios, exponenciais, senos/cossenos ou seus produtos.
Regra prática para o ansatz (palpite) de y_p:
  • Para o termo polinomial 2t (grau 1) tento um polinômio de grau 1: A t + B.
  • Para o termo exponencial 3e^{2t} tento C e^{2t}, exceto se e^{2t} for solução da homogênea (ressonância). Verifico: os expoentes da homogênea são 1 e -2, portanto 2 não é raiz da característica, logo não há ressonância e C e^{2t} é adequado.
Portanto proponho o ansatz
y_p(t)=A t + B + C e^{2t},
com A,B,C a determinar.

Passo 4

Calcular as derivadas de y_p. Usando regras usuais de derivada (derivada de at+b é a; derivada de e^{2t} é 2e^{2t}; derivada segunda segue a mesma regra):
y_p'(t)=A + 2C e^{2t},
y_p''(t)=4C e^{2t}.
Explicação didática: derivada de C e^{2t} é 2C e^{2t}; derivando de novo multiplica por mais 2, dando 4C e^{2t}.

Passo 5

Substituir y_p, y_p' e y_p'' na equação diferencial e agrupar termos semelhantes (polinômicos em t e exponenciais e^{2t}):
y_p'' + y_p' - 2y_p = \bigl(4C e^{2t}\bigr) + \bigl(A + 2C e^{2t}\bigr) - 2\bigl(A t + B + C e^{2t}\bigr).
Agora distribuir e agrupar separando termos em t, constantes e e^{2t}:
  • Termos em t: só aparece -2A t.
  • Termos constantes (sem t nem e^{2t}): A - 2B.
  • Termos em e^{2t}: 4C + 2C - 2C = 4C.
Assim obtemos
y_p'' + y_p' - 2y_p = -2A\,t + (A - 2B) + 4C\,e^{2t}.

Passo 6

Igualar o resultado ao lado direito 2t + 3e^{2t} e comparar coeficientes de termos independentes (polinômios e exponenciais) — isso é possível porque polinômios e exponenciais independentes linearmente:
-2A\,t + (A - 2B) + 4C\,e^{2t} \equiv 2t + 3e^{2t}.
Comparando coeficientes do termo em t:
-2A = 2 \quad\Rightarrow\quad A = -1.
Comparando termos constantes:
A - 2B = 0 \quad\Rightarrow\quad -1 - 2B = 0 \quad\Rightarrow\quad B = -\tfrac{1}{2}.
Comparando coeficientes de e^{2t}:
4C = 3 \quad\Rightarrow\quad C = \tfrac{3}{4}.

Passo 7

Valores obtidos para os coeficientes do particular:
A = -1,\qquad B = -\tfrac{1}{2},\qquad C = \tfrac{3}{4}.
Opcional (cheque mental): esses valores fazem com que ao substituir volte-se exatamente 2t+3e^{2t}, então estão corretos.

Resposta

y(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-2t}-t-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{4}e^{2t}

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