(2,5 pontos) Encontre a solução geral para as equações abaixo.
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Enunciado: encontrar a solução geral da equação diferencial
- Informação importante: é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo independente (não-homogêneo) igual a
. - Objetivo final: encontrar a solução geral
, que é a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação não-homogênea.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero). A equação homogênea é
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica: substituir
leva a
Agora resolvemos essa equação algébrica: fatorando,
logo as raízes são
e
. Para raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Pequena explicação didática: a equação característica traduz a tentativa ; as raízes
indicam os expoentes das soluções exponenciais da homogênea.
Pequena explicação didática: a equação característica traduz a tentativa
Passo 3
Escolher um método para achar uma solução particular
. Vou usar o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients), apropriado quando o termo não-homogêneo é combinação de polinômios, exponenciais, senos/cossenos ou seus produtos.
Regra prática para o ansatz (palpite) de
:
- Para o termo polinomial
(grau 1) tento um polinômio de grau 1: . - Para o termo exponencial
tento , exceto se for solução da homogênea (ressonância). Verifico: os expoentes da homogênea são e , portanto não é raiz da característica, logo não há ressonância e é adequado.
Portanto proponho o ansatz
com
a determinar.
Passo 4
Calcular as derivadas de
. Usando regras usuais de derivada (derivada de
é
; derivada de
é
; derivada segunda segue a mesma regra):
Explicação didática: derivada de
é
; derivando de novo multiplica por mais 2, dando
.
Passo 5
Substituir
,
e
na equação diferencial e agrupar termos semelhantes (polinômicos em
e exponenciais
):
Agora distribuir e agrupar separando termos em
, constantes e
:
- Termos em
: só aparece . - Termos constantes (sem
nem ): . - Termos em
: .
Assim obtemos
Passo 6
Igualar o resultado ao lado direito
e comparar coeficientes de termos independentes (polinômios e exponenciais) — isso é possível porque polinômios e exponenciais independentes linearmente:
Comparando coeficientes do termo em
:
Comparando termos constantes:
Comparando coeficientes de
:
Passo 7
Valores obtidos para os coeficientes do particular:
Opcional (cheque mental): esses valores fazem com que ao substituir volte-se exatamente
, então estão corretos.