(2,5 pontos) Encontre a solução geral para as equações abaixo.
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Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e pede a solução geral:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- É uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo do lado direito (forçamento) é
. - A tarefa é encontrar a solução geral
, que combina a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da não-homogênea.
Passo 2
Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero). Escrevemos a equação homogênea:
Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções do tipo
. Substituindo esse formato obtemos a equação característica em
:
Vou explicar por que fazemos isso: ao colocar
temos
e
. Como
nunca é zero, podemos dividir por ele e obter uma equação polinomial para
. Resolver essa equação polinomial nos dá os expoentes das exponenciais que formam a solução homogênea.
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
Essa quadrática pode ser fatorada:
Logo as raízes são
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias (constantes de integração).
Passo 4
Agora precisamos de uma solução particular
da equação não-homogênea
Escolho usar o método dos coeficientes indeterminados. Vou explicar por que: o lado direito é uma função simples (uma exponencial
) e os coeficientes da equação são constantes, então o método dos coeficientes indeterminados é apropriado e direto. A ideia é propor um palpite para
com parâmetros desconhecidos e determinar esses parâmetros substituindo na equação.
Antes de escolher o palpite, verificamos se há ressonância: se
é solução da homogênea (ou seja, se
é raiz da característica). Como as raízes da característica são
e
,
não é raiz. Portanto não há ressonância e o palpite clássico funciona sem multiplicar por
.
Passo 5
Como o forçamento é
e não há ressonância, tentamos um palpite da forma
onde
é uma constante a determinar. Agora calculamos as derivadas necessárias:
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Agrupando termos:
A equação exige que isso seja igual a
, então obtemos a igualdade escalar (dividindo por
, que não é zero):
Passo 6
Resolvendo para
:
Portanto uma solução particular é
Passo 7
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com uma solução particular:
onde
e
são constantes arbitrárias reais.
Passo 8
Comentários didáticos rápidos (úteis para prova):
- Se o lado direito fosse uma exponencial
e fosse raiz simples da equação característica, o palpite deveria ser (multiplicar por uma vez). Se fosse raiz dupla, multiplicar por , e assim por diante. - Alternativa ao método dos coeficientes indeterminados é o método de variação de parâmetros, que funciona sempre, mas é mais trabalhoso para este caso simples.