(2,5 pontos) Encontre a solução geral para as equações abaixo.
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 e^{2 t};

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e pede a solução geral:
y'' + y' - 2y = 3e^{2t}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • É uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo do lado direito (forçamento) é 3e^{2t}.
  • A tarefa é encontrar a solução geral y(t), que combina a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da não-homogênea.

Passo 2

Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero). Escrevemos a equação homogênea:
y'' + y' - 2y = 0.
Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções do tipo y=e^{rt}. Substituindo esse formato obtemos a equação característica em r:
r^2 + r - 2 = 0.
Vou explicar por que fazemos isso: ao colocar y=e^{rt} temos y'=re^{rt} e y''=r^2e^{rt}. Como e^{rt} nunca é zero, podemos dividir por ele e obter uma equação polinomial para r. Resolver essa equação polinomial nos dá os expoentes das exponenciais que formam a solução homogênea.

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
r^2 + r - 2 = 0.
Essa quadrática pode ser fatorada:
r^2 + r - 2 = (r+2)(r-1).
Logo as raízes são
r_1 = 1,\qquad r_2 = -2.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é:
y_h(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{-2t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (constantes de integração).

Passo 4

Agora precisamos de uma solução particular y_p(t) da equação não-homogênea
y'' + y' - 2y = 3e^{2t}.
Escolho usar o método dos coeficientes indeterminados. Vou explicar por que: o lado direito é uma função simples (uma exponencial 3e^{2t}) e os coeficientes da equação são constantes, então o método dos coeficientes indeterminados é apropriado e direto. A ideia é propor um palpite para y_p com parâmetros desconhecidos e determinar esses parâmetros substituindo na equação.
Antes de escolher o palpite, verificamos se há ressonância: se e^{2t} é solução da homogênea (ou seja, se r=2 é raiz da característica). Como as raízes da característica são 1 e -2, 2 não é raiz. Portanto não há ressonância e o palpite clássico funciona sem multiplicar por t.

Passo 5

Como o forçamento é 3e^{2t} e não há ressonância, tentamos um palpite da forma
y_p(t) = A e^{2t},
onde A é uma constante a determinar. Agora calculamos as derivadas necessárias:
y_p'(t) = 2A e^{2t},
y_p''(t) = 4A e^{2t}.
Substituímos y_p, y_p' e y_p'' na equação diferencial:
y_p'' + y_p' - 2y_p = 4A e^{2t} + 2A e^{2t} - 2(A e^{2t}).
Agrupando termos:
4A e^{2t} + 2A e^{2t} - 2A e^{2t} = 4A e^{2t}.
A equação exige que isso seja igual a 3e^{2t}, então obtemos a igualdade escalar (dividindo por e^{2t}, que não é zero):
4A = 3.

Passo 6

Resolvendo para A:
A = \frac{3}{4}.
Portanto uma solução particular é
y_p(t) = \frac{3}{4} e^{2t}.

Passo 7

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com uma solução particular:
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{-2t} + \frac{3}{4} e^{2t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias reais.

Passo 8

Comentários didáticos rápidos (úteis para prova):
  • Se o lado direito fosse uma exponencial ke^{\lambda t} e \lambda fosse raiz simples da equação característica, o palpite deveria ser y_p = At e^{\lambda t} (multiplicar por t uma vez). Se \lambda fosse raiz dupla, multiplicar por t^2, e assim por diante.
  • Alternativa ao método dos coeficientes indeterminados é o método de variação de parâmetros, que funciona sempre, mas é mais trabalhoso para este caso simples.

Resposta

y(t)=C_1 e^{t} + C_2 e^{-2t} + \dfrac{3}{4} e^{2t}

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