(2,5 pontos) Determine o máximo e o mínimo da função f(x, y, z)=x^{2}-y-z no conjunto A=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 z \leq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=x^{2}-y-z e o conjunto
A=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}-4z\leq 0\}.
O que é pedido: determinar o máximo e o mínimo de f no conjunto A (ou seja, os valores extremos de f em A e onde eles ocorrem).
Informações relevantes que extraí do enunciado:
x^{2}+y^{2}+z^{2}-4z\leq 0
é a condição que define A.
Nenhuma outra informação (figura/tabela) foi fornecida.

Passo 2

Primeiro vou simplificar a descrição do conjunto A completando o quadrado em z. Isto ajuda a visualizar A como uma bola, o que é mais fácil de trabalhar.
Completar o quadrado para z em
x^{2}+y^{2}+z^{2}-4z\leq 0
faço assim:
z^{2}-4z=(z-2)^{2}-4.
Substituindo na desigualdade:
x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}-4\leq 0.
Isolando o termo constante:
x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}\leq 4.
Portanto A é a bola fechada de centro (0,0,2) e raio 2:
A=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}\leq 4\}.

Passo 3

Observação importante (teorema utilizado, explicado de forma simples):
  • A função f é contínua em \mathbb{R}^{3}.
  • O conjunto A é fechado e limitado (uma bola fechada), logo é compacto.
    Pelo teorema de existência de extremos para funções contínuas em conjuntos compactos, f atinge um máximo e um mínimo em A. Assim há pontos em A onde f atinge seus valores extremos.

Passo 4

Estratégia para localizar os extremos:
  • Se houver um ponto interior a A onde o gradiente de f é zero, esse ponto seria candidato a extremo interior.
  • Caso contrário, os extremos devem ocorrer na fronteira da bola, isto é na esfera
S=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}=4\}.
Vou verificar primeiro pontos críticos interiores resolvendo \nabla f=0. Cálculo do gradiente de f:
\nabla f=(\partial f/\partial x,\partial f/\partial y,\partial f/\partial z)=(2x,-1,-1).
Resolver \nabla f=0 dá o sistema:
2x=0,\quad -1=0,\quad -1=0.
As últimas duas equações são impossíveis. Logo não existem pontos críticos interiores em A. Conclusão: os extremos estão na fronteira S.

Passo 5

Para otimizar f na esfera S uso o método dos multiplicadores de Lagrange (vou explicar a ideia rapidamente):
  • Queremos extremos de f sujeitos à restrição g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}-4=0.
  • A condição de Lagrange diz que no extremo a superfície de nível de f é tangente à esfera, o que se traduz em
\nabla f=\lambda \nabla g
para algum escalar \lambda. Aqui \lambda é o multiplicador de Lagrange.

Passo 6

Calculo \nabla g:
\nabla g=(2x,2y,2(z-2)).
Equacão de Lagrange \nabla f=\lambda \nabla g fica:
(2x,-1,-1)=\lambda(2x,2y,2(z-2)).
Isto gera o sistema de equações
2x = 2\lambda x,
-1 = 2\lambda y,
-1 = 2\lambda (z-2),
além da condição da esfera
x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}=4.

Passo 7

Da primeira equação 2x=2\lambda x obtemos
2x(1-\lambda)=0.
Portanto há duas possibilidades a considerar:
  • Caso (I): \lambda=1.
  • Caso (II): x=0.
Vou tratar cada caso separadamente.

Passo 8

Caso (I): \lambda=1.
Das outras duas equações:
-1=2\cdot 1\cdot y \implies y=-\tfrac{1}{2},
-1=2\cdot 1\cdot (z-2) \implies z-2=-\tfrac{1}{2}\implies z=\tfrac{3}{2}.
Agora uso a condição da esfera para achar x:
x^{2}+(-\tfrac{1}{2})^{2}+(-\tfrac{1}{2})^{2}=4.
Calculando os quadrados:
x^{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}=4 \implies x^{2}+\tfrac{1}{2}=4 \implies x^{2}=\tfrac{7}{2}.
Logo
x=\pm\sqrt{\tfrac{7}{2}}.
Os pontos candidatos neste caso são
\left(\pm\sqrt{\tfrac{7}{2}},-\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\right).
Calculo f nesses pontos:
f=x^{2}-y-z=\tfrac{7}{2}-\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)-\tfrac{3}{2}=\tfrac{7}{2}+\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2}=\tfrac{5}{2}.

Passo 9

Caso (II): x=0.
Das equações de Lagrange restantes temos
-1=2\lambda y \implies y=-\tfrac{1}{2\lambda},
-1=2\lambda (z-2) \implies z-2=-\tfrac{1}{2\lambda}.
Note que isto implica y=z-2. Denoto t=y=z-2. Então
t=-\tfrac{1}{2\lambda}.
A condição da esfera com x=0
0+t^{2}+t^{2}=4 \implies 2t^{2}=4 \implies t^{2}=2 \implies t=\pm\sqrt{2}.
Assim há dois pontos candidatos com x=0:
Para t=\sqrt{2}:
(0,\sqrt{2},2+\sqrt{2}).
Para t=-\sqrt{2}:
(0,-\sqrt{2},2-\sqrt{2}).
Calculo f nestes pontos usando f=x^{2}-y-z (com x=0):
f(0,y,z)=-y-z = -t-(2+t)=-2t-2.
Para t=\sqrt{2}:
f=-2\sqrt{2}-2.
Para t=-\sqrt{2}:
f=2\sqrt{2}-2.

Passo 10

Agora comparo todos os valores obtidos na fronteira:
  • Dos pontos \left(\pm\sqrt{\tfrac{7}{2}},-\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\right) obtive f=\tfrac{5}{2}.
  • Do ponto (0,\sqrt{2},2+\sqrt{2}) obtive f=-2-2\sqrt{2}.
  • Do ponto (0,-\sqrt{2},2-\sqrt{2}) obtive f=2\sqrt{2}-2.
Numeração aproximada apenas para comparação: \tfrac{5}{2}=2{,}5, 2\sqrt{2}-2\approx0{,}828, e -2-2\sqrt{2}\approx-4{,}828.
Assim:
  • O maior valor é \tfrac{5}{2}, atingido nos dois pontos \left(\pm\sqrt{\tfrac{7}{2}},-\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\right).
  • O menor valor é -2-2\sqrt{2}, atingido no ponto (0,\sqrt{2},2+\sqrt{2}).

Resposta

Máximo: \displaystyle f_{\max}=\tfrac{5}{2} atingido em \displaystyle \left(\pm\sqrt{\tfrac{7}{2}},-\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\right).\nMínimo: \displaystyle f_{\min}=-2-2\sqrt{2} atingido em \displaystyle (0,\sqrt{2},2+\sqrt{2}).

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