(2,5 pontos) Determine o máximo e o mínimo da função
no conjunto
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o conjunto
O que é pedido: determinar o máximo e o mínimo de
no conjunto
(ou seja, os valores extremos de
em
e onde eles ocorrem).
Informações relevantes que extraí do enunciado:
é a condição que define
.
Nenhuma outra informação (figura/tabela) foi fornecida.
Nenhuma outra informação (figura/tabela) foi fornecida.
Passo 2
Primeiro vou simplificar a descrição do conjunto
completando o quadrado em
. Isto ajuda a visualizar
como uma bola, o que é mais fácil de trabalhar.
Completar o quadrado para
em
faço assim:
Substituindo na desigualdade:
Isolando o termo constante:
Portanto
é a bola fechada de centro
e raio
:
Passo 3
Observação importante (teorema utilizado, explicado de forma simples):
- A função
é contínua em . - O conjunto
é fechado e limitado (uma bola fechada), logo é compacto.
Pelo teorema de existência de extremos para funções contínuas em conjuntos compactos,atinge um máximo e um mínimo em . Assim há pontos em onde atinge seus valores extremos.
Passo 4
Estratégia para localizar os extremos:
- Se houver um ponto interior a
onde o gradiente de é zero, esse ponto seria candidato a extremo interior. - Caso contrário, os extremos devem ocorrer na fronteira da bola, isto é na esfera
Vou verificar primeiro pontos críticos interiores resolvendo
. Cálculo do gradiente de
:
Resolver
dá o sistema:
As últimas duas equações são impossíveis. Logo não existem pontos críticos interiores em
. Conclusão: os extremos estão na fronteira
.
Passo 5
Para otimizar
na esfera
uso o método dos multiplicadores de Lagrange (vou explicar a ideia rapidamente):
- Queremos extremos de
sujeitos à restrição . - A condição de Lagrange diz que no extremo a superfície de nível de
é tangente à esfera, o que se traduz em
para algum escalar
. Aqui
é o multiplicador de Lagrange.
Passo 6
Calculo
:
Equacão de Lagrange
fica:
Isto gera o sistema de equações
além da condição da esfera
Passo 7
Da primeira equação
obtemos
Portanto há duas possibilidades a considerar:
- Caso (I):
. - Caso (II):
.
Vou tratar cada caso separadamente.
Passo 8
Caso (I):
.
Das outras duas equações:
Agora uso a condição da esfera para achar
:
Calculando os quadrados:
Logo
Os pontos candidatos neste caso são
Calculo
nesses pontos:
Passo 9
Caso (II):
.
Das equações de Lagrange restantes temos
Note que isto implica
. Denoto
. Então
A condição da esfera com
dá
Assim há dois pontos candidatos com
:
Para
:
Para
:
Calculo
nestes pontos usando
(com
):
Para
:
Para
:
Passo 10
Agora comparo todos os valores obtidos na fronteira:
- Dos pontos
obtive . - Do ponto
obtive . - Do ponto
obtive .
Numeração aproximada apenas para comparação:
,
, e
.
Assim:
Assim:
- O maior valor é
, atingido nos dois pontos . - O menor valor é
, atingido no ponto .
Resposta
Máximo:
atingido em
.\nMínimo:
atingido em
.