Considere a função
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{t g\left(\frac{x^{2}+y^{2}}{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & (x, y)=(0,0) \end{array} .\right.
a) ( 1,5 pontos) Determine os pontos onde f é diferenciável.
b) ( 1 ponto) Calcule a derivada direcional de f na direção do vetor u=(1,1) no ponto P=(0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{\operatorname{tg}\!\left(\dfrac{x^{2}+y^{2}}{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede:
  1. (a) Determinar os pontos onde f é diferenciável.
  2. (b) Calcular a derivada direcional de f na direção do vetor u=(1,1) no ponto P=(0,0).
Observação sobre notação (importante): interpreto \operatorname{tg} como a função tangente, isto é, \operatorname{tg}(t)=\tan(t). Todas as informações necessárias estão no enunciado; não estou supondo figuras extras.]

Passo 2

Entendimento do que significa “ser diferenciável” num ponto e estratégia para (x,y)\neq(0,0).
  • Definição prática: uma função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é diferenciável num ponto se existe uma aplicação linear L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} (essa aplicação é o diferencial) tal que
f(\mathbf{h})-f(\mathbf{0})-L(\mathbf{h})=o(\|\mathbf{h}\|)\quad\text{quando }\mathbf{h}\to\mathbf{0}.
Uma consequência útil: se uma função é dada por composição de funções de classe C^1 (ou C^\infty) em torno de um ponto, então ela é diferenciável nesse ponto.
  • Para (x,y)\neq(0,0) podemos ver a função como composição de mapas suaves: defina
\varphi(x,y)=x^{2}+y^{2}\quad\text{e}\quad \psi(t)=\frac{\tan(t/2)}{t}\quad(t>0).
Então, para (x,y)\neq(0,0),
f(x,y)=\psi\big(\varphi(x,y)\big).
Aqui \varphi é polinomial (logo C^\infty) em toda \mathbb{R}^2, e \psi é C^\infty na faixa t>0 (porque divisão por t e \tan são suaves quando t\neq 0 e no entorno de t=0 tratamos separadamente). Assim a composição é C^\infty em todos os pontos com x^{2}+y^{2}>0.
Conclusão provisória: qualquer ponto com (x,y)\neq(0,0) é ponto de diferenciabilidade (explicitação e justificativa acima).

Passo 3

Verificação da diferenciabilidade no ponto (0,0): primeiro checar continuidade.
  • Método: calcular o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0). Use coordenadas polares ou uma substituição conveniente. Seja
r^{2}=x^{2}+y^{2},\qquad z=\frac{r^{2}}{2}.
Para (x,y)\neq(0,0) temos
f(x,y)=\frac{\tan\!\big(\dfrac{x^{2}+y^{2}}{2}\big)}{x^{2}+y^{2}} =\frac{\tan(z)}{2z} =\frac{1}{2}\cdot\frac{\tan(z)}{z}.
  • Saber chave: \displaystyle\lim_{z\to 0}\frac{\tan z}{z}=1. Isto vem da expansão em série de \tan z ou de um limite trigonométrico padrão.
  • Aplicando: quando (x,y)\to(0,0) temos r^{2}\to 0 e então z\to 0. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=\lim_{z\to 0}\frac{1}{2}\cdot\frac{\tan z}{z}=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}.
  • Como f(0,0)=0 pelo enunciado e o limite das funções ao aproximar-se do ponto é \tfrac{1}{2}\neq 0, a função é descontínua em (0,0).
  • Teorema utilizado: diferenciabilidade implica continuidade. Logo, se f não é contínua em (0,0), então não é diferenciável aí.
Conclusão: f não é diferenciável em (0,0).

Passo 4

Resumo parcial (juntando Passos 2 e 3) para responder a parte (a).
  • Dos passos anteriores: f é diferenciável em todos os pontos com (x,y)\neq(0,0), e não é diferenciável em (0,0).
  • Motivação didática curta: a razão é que afastando-se da origem o denominador x^{2}+y^{2} é não nulo e a função é composição de funções suaves; na origem há um salto de valor (limite radial vale \tfrac{1}{2} enquanto f(0,0)=0), portanto falha a continuidade e a diferenciabilidade.

Passo 5

Definição da derivada direcional e aplicação ao caso pedido (parte b).
  • Definição que vamos usar: dada uma função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, o quociente direcional ao longo do vetor u no ponto P é
\frac{f(P+t u)-f(P)}{t},
e a derivada direcional (no sentido simétrico) existe se o limite quando t\to 0 existir finito. Alguns textos usam o limite unilateral t\to 0^+; aqui calcularemos ambos os lados para ser preciso.
  • No nosso caso P=(0,0) e u=(1,1). Para t\neq 0,
f\big(t(1,1)\big)=f(t,t)=\frac{\tan\!\big(\dfrac{t^{2}+t^{2}}{2}\big)}{t^{2}+t^{2}} =\frac{\tan(t^{2})}{2t^{2}}.
Logo o quociente direcional é
\frac{f\big(t(1,1)\big)-f(0,0)}{t}=\frac{\tan(t^{2})}{2t^{3}}.

Passo 6

Análise do limite da expressão obtida em Passo 5.
  • Observe que, quando t\to 0, t^{2}\to 0 e usamos novamente \tan z\sim z para z\to 0. Então
\tan(t^{2})\sim t^{2}\quad\text{quando }t\to 0,
e portanto
\frac{\tan(t^{2})}{2t^{3}}\sim\frac{t^{2}}{2t^{3}}=\frac{1}{2t}.
  • Consequência:
    • Para t\to 0^{+} a expressão \dfrac{\tan(t^{2})}{2t^{3}}\to +\infty.
    • Para t\to 0^{-} a expressão \dfrac{\tan(t^{2})}{2t^{3}}\to -\infty (porque o numerador é positivo e o denominador 2t^{3} é negativo para t<0).
  • Logo o limite bilateral t\to 0 não existe como número finito. Se alguém usar definição unilateral t\to 0^{+}, o limite é +\infty (diverge). Para a definição usual que exige limite finito (ou existência de limite bilateral), a derivada direcional não existe.

Resposta

a) f é diferenciável em todos os pontos (x,y) tais que (x,y)\neq(0,0).\newline
b) A derivada direcional de f em P=(0,0) na direção u=(1,1) não existe (o quociente direcional diverge: tende a +\infty quando t\to 0^{+} e a -\infty quando t\to 0^{-}).

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