a) ( 1,5 pontos) Determine os pontos onde f é diferenciável.
b) ( 1 ponto) Calcule a derivada direcional de f na direção do vetor u=(1,1) no ponto P=(0,0).
(b) Calcular a derivada direcional de f na direção do vetor u=(1,1) no ponto P=(0,0).
Observação sobre notação (importante): interpreto \operatorname{tg} como a função tangente, isto é, \operatorname{tg}(t)=\tan(t). Todas as informações necessárias estão no enunciado; não estou supondo figuras extras.]
Passo 2
Entendimento do que significa “ser diferenciável” num ponto e estratégia para (x,y)\neq(0,0).
Definição prática: uma função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é diferenciável num ponto se existe uma aplicação linear L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} (essa aplicação é o diferencial) tal que
Uma consequência útil: se uma função é dada por composição de funções de classe C^1 (ou C^\infty) em torno de um ponto, então ela é diferenciável nesse ponto.
Para (x,y)\neq(0,0) podemos ver a função como composição de mapas suaves: defina
Aqui \varphi é polinomial (logo C^\infty) em toda \mathbb{R}^2, e \psi é C^\infty na faixa t>0 (porque divisão por t e \tan são suaves quando t\neq 0 e no entorno de t=0 tratamos separadamente). Assim a composição é C^\infty em todos os pontos com x^{2}+y^{2}>0.
Conclusão provisória: qualquer ponto com (x,y)\neq(0,0) é ponto de diferenciabilidade (explicitação e justificativa acima).
Passo 3
Verificação da diferenciabilidade no ponto (0,0): primeiro checar continuidade.
Método: calcular o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0). Use coordenadas polares ou uma substituição conveniente. Seja
Como f(0,0)=0 pelo enunciado e o limite das funções ao aproximar-se do ponto é \tfrac{1}{2}\neq 0, a função é descontínua em (0,0).
Teorema utilizado: diferenciabilidade implica continuidade. Logo, se f não é contínua em (0,0), então não é diferenciável aí.
Conclusão: f não é diferenciável em (0,0).
Passo 4
Resumo parcial (juntando Passos 2 e 3) para responder a parte (a).
Dos passos anteriores: f é diferenciável em todos os pontos com (x,y)\neq(0,0), e não é diferenciável em (0,0).
Motivação didática curta: a razão é que afastando-se da origem o denominador x^{2}+y^{2} é não nulo e a função é composição de funções suaves; na origem há um salto de valor (limite radial vale \tfrac{1}{2} enquanto f(0,0)=0), portanto falha a continuidade e a diferenciabilidade.
Passo 5
Definição da derivada direcional e aplicação ao caso pedido (parte b).
Definição que vamos usar: dada uma função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, o quociente direcional ao longo do vetor u no ponto P é
\frac{f(P+t u)-f(P)}{t},
e a derivada direcional (no sentido simétrico) existe se o limite quando t\to 0 existir finito. Alguns textos usam o limite unilateral t\to 0^+; aqui calcularemos ambos os lados para ser preciso.
Para t\to 0^{+} a expressão \dfrac{\tan(t^{2})}{2t^{3}}\to +\infty.
Para t\to 0^{-} a expressão \dfrac{\tan(t^{2})}{2t^{3}}\to -\infty (porque o numerador é positivo e o denominador 2t^{3} é negativo para t<0).
Logo o limite bilateral t\to 0 não existe como número finito. Se alguém usar definição unilateral t\to 0^{+}, o limite é +\infty (diverge). Para a definição usual que exige limite finito (ou existência de limite bilateral), a derivada direcional não existe.
Resposta
a) f é diferenciável em todos os pontos (x,y) tais que (x,y)\neq(0,0).\newline
b) A derivada direcional de f em P=(0,0) na direção u=(1,1) não existe (o quociente direcional diverge: tende a +\infty quando t\to 0^{+} e a -\infty quando t\to 0^{-}).