(a) (2,0 pontos) Determine o trabalho realizado pelo campo de força
para movimentar um objeto sobre a curva
. (b) ( 0,5 ponto) Qual seria o trabalho se a curva fosse uma circunferência? Justifique.
Passo 1
A questão pede para calcular o trabalho de um campo de força sobre uma curva e, em seguida, dizer o que aconteceria se a curva fosse fechada (circunferência). O conteúdo envolve campos conservativos e teorema fundamental do cálculo de linha, e vamos precisar checar se
é conservativo, encontrar a função potencial
e depois aplicar o teorema.
Passo 2
Para ver se
é conservativo, calculamos as derivadas parciais cruzadas:
e
;
e
;
e
.
Como todas coincidem, o rotacional é nulo e é conservativo.
Como todas coincidem, o rotacional é nulo e
Passo 3
Para achar a potencial
, integramos
em relação a
, dando
Derivando agora em relação a
e igualando a
obtemos
, logo
Finalmente,
deve ser igual a
, o que implica
. Portanto podemos tomar
Passo 4
Pelo teorema fundamental para campos conservativos, o trabalho sobre
,
, é
Temos
e
. Logo
Portanto o trabalho é
.
Para o item (b), se a curva fosse uma circunferência (fechada), o trabalho seria nulo porque em campos conservativos o integral de linha fechado é zero.
Para o item (b), se a curva fosse uma circunferência (fechada), o trabalho seria nulo porque em campos conservativos o integral de linha fechado é zero.
Resposta
(a)
; (b)
, pois o campo é conservativo e em caminho fechado o trabalho anula-se.