(a) (2,0 pontos) Determine o trabalho realizado pelo campo de força F(x, y, z)=2 x y i+(x^2+3 z^3) j+9 y z^2 k para movimentar um objeto sobre a curva r(t)=(1-sin (t)) i+(1-cos (t)) j+t k, 0 <= t <= pi. (b) ( 0,5 ponto) Qual seria o trabalho se a curva fosse uma circunferência? Justifique.

Passo 1

A questão pede para calcular o trabalho de um campo de força sobre uma curva e, em seguida, dizer o que aconteceria se a curva fosse fechada (circunferência). O conteúdo envolve campos conservativos e teorema fundamental do cálculo de linha, e vamos precisar checar se F é conservativo, encontrar a função potencial varphi e depois aplicar o teorema.

Passo 2

Para ver se F(x,y,z)=2xy,i+(x^2+3z^3),j+9yz^2,k é conservativo, calculamos as derivadas parciais cruzadas:
partial/partial y,(2xy)=2x e partial/partial x,(x^2+3z^3)=2x;
partial/partial z,(2xy)=0 e partial/partial x,(9yz^2)=0;
partial/partial z,(x^2+3z^3)=9z^2 e partial/partial y,(9yz^2)=9z^2.
Como todas coincidem, o rotacional é nulo e F é conservativo.

Passo 3

Para achar a potencial varphi(x,y,z), integramos
partialvarphipartial x=2xy em relação a x, dando
varphi(x,y,z)=x^2y+h(y,z)
Derivando agora em relação a y e igualando a x^2+3z^3 obtemos hy=3z^3, logo
h(y,z)=3yz^3+k(z)
Finalmente, partialvarphi/partial z=9yz^2+k'(z) deve ser igual a 9yz^2, o que implica k'(z)=0. Portanto podemos tomar
varphi(x,y,z)=x^2y+3yz^3

Passo 4

Pelo teorema fundamental para campos conservativos, o trabalho sobre r(t), 0<= t<=pi, é
W=varphil(r(pi)r)-varphil(r(0)r)
Temos r(pi)=(1,2,pi) e r(0)=(1,0,0). Logo
varphi(1,2,pi)=1^2cdot2+3cdot2cdotpi^3=2+6pi^3,
varphi(1,0,0)=0
Portanto o trabalho é W=2+6pi^3.
Para o item (b), se a curva fosse uma circunferência (fechada), o trabalho seria nulo porque em campos conservativos o integral de linha fechado é zero.

Resposta

(a) 2+6pi^3; (b) 0, pois o campo é conservativo e em caminho fechado o trabalho anula-se.

Exercícios relacionados