(1,5 ponto) Calcule a integral de linha integralC(y^2 d x+x d y), onde C é o triângulo de vértices (0,0),(1,0) e (0,1) orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Este exercício pede para calcular a integral de linha integralCl(y^2,dx + x,dyr), onde C é o triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (0,1), orientado no sentido anti-horário. O conteúdo principal aqui é a aplicação do Teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região triangular.

Passo 2

Definimos as funções P(x,y)=y^2 e Q(x,y)=x. O Teorema de Green afirma que, para uma curva fechada C positivamente orientada em torno de uma região D, vale:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partialx Q - partialy Pr),dA

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partialx Q = partialx(x) = 1, partialy P = partialy(y^2) = 2y
Logo, o integrando da integral dupla será partialx Q - partialy P = 1 - 2y.

Passo 4

A região D é o próprio triângulo com vértices (0,0), (1,0), (0,1). Podemos descrevê-la como
0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1 - x
Assim montamos
integral duplaD(1 - 2y),dA = integralx=0^1 integraly=0^1-x (1 - 2y),dy,dx

Passo 5

Primeiro, integramos em y:
integral0^1-x(1 - 2y),dy = l[y - y^2r]0^1-x = (1-x) - (1-x)^2 = x(1-x)

Passo 6

Por fim, integramos em x:
integral0^1 x(1-x),dx = integral0^1 (x - x^2),dx = l[tfracx^22 - tfracx^33r]0^1 = tfrac12 - tfrac13 = tfrac16

Resposta

1/6

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