(1,5 ponto) Calcule a integral de linha
, onde
é o triângulo de vértices
e
orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Este exercício pede para calcular a integral de linha
, onde
é o triângulo de vértices
,
e
, orientado no sentido anti-horário. O conteúdo principal aqui é a aplicação do Teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região triangular.
Passo 2
Definimos as funções
e
. O Teorema de Green afirma que, para uma curva fechada
positivamente orientada em torno de uma região
, vale:
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Logo, o integrando da integral dupla será
.
Passo 4
A região
é o próprio triângulo com vértices
,
,
. Podemos descrevê-la como
Assim montamos
Passo 5
Primeiro, integramos em
:
Passo 6
Por fim, integramos em
: