( 1,5 pontos) Determine a transformada de Hilbert de x(t)=\cos (\omega t) e forneça a expressão no tempo do sinal AM-SSB.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Determinar a transformada de Hilbert de x(t)=\cos(\omega t).
  2. Fornecer a expressão no tempo do sinal AM-SSB (Single-Sideband) usando esse x(t) como mensagem.
    Informações dadas: x(t)=\cos(\omega t) (assumimos \omega>0 como frequência angular do tom). Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

O que é a transformada de Hilbert, de forma prática? Vou te dar duas formas úteis:
  • No domínio do tempo, a transformada de Hilbert \hat{x}(t)\) é dada por \[\hat{x}(t)=\frac{1}{\pi}\,\mathrm{p.v.}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x(\tau)}{t-\tau}\,d\tau,
onde “p.v.” indica o valor principal de Cauchy (isso garante convergência da integral). Isso é conceitualmente importante, mas calcular diretamente essa integral é chato na prática.
  • No domínio da frequência (muito mais prático), a transformada de Hilbert corresponde a multiplicar a transformada de Fourier X(\Omega) por -j\,\mathrm{sgn}(\Omega), isto é
\mathcal{F}\{\hat{x}(t)\}(\Omega) = -j\,\mathrm{sgn}(\Omega)\,X(\Omega),
onde \mathrm{sgn}(\Omega)=\begin{cases}+1,&\Omega>0,\\\ 0,&\Omega=0,\\\ -1,&\Omega<0.\end{cases}\] Interpretando: componentes de frequência positiva têm fase deslocada em \(-90^\circ (multiplicadas por -j) e componentes de frequência negativa em +90^\circ (multiplicadas por +j).

Passo 3

Vamos aplicar essa regra fácil ao sinal x(t)=\cos(\omega t). Primeiro escrevo o cosseno em exponenciais complexas (identidade básica):
\cos(\omega t)=\frac{1}{2}\,e^{j\omega t}+\frac{1}{2}\,e^{-j\omega t}.
Aqui temos duas componentes: uma em \Omega=+\omega e outra em \Omega=-\omega.

Passo 4

Agora aplico o operador de Hilbert em cada componente usando a regra de frequência:
  • A componente \frac{1}{2}e^{j\omega t} (frequência positiva \Omega=+\omega) é multiplicada por -j, ficando -\frac{j}{2}e^{j\omega t}.
  • A componente \frac{1}{2}e^{-j\omega t} (frequência negativa \Omega=-\omega) é multiplicada por +j, ficando +\frac{j}{2}e^{-j\omega t}.
Somando essas duas contribuições obtemos
\hat{x}(t)= -\frac{j}{2}e^{j\omega t} + \frac{j}{2}e^{-j\omega t}.

Passo 5

Agora simplifico essa expressão usando identidades de exponenciais/trigonometria. Faço o fator \frac{j}{2} explícito:
\hat{x}(t)=\frac{j}{2}\big(-e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}\big).
Lembre que e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}=2j\sin(\omega t). Assim,
\hat{x}(t)=\frac{j}{2}\big(-1\big)\big(e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}\big) = -\frac{j}{2}\big(2j\sin(\omega t)\big).
Como j\cdot j = -1, obtemos
\hat{x}(t)=\sin(\omega t).
Portanto a transformada de Hilbert de \cos(\omega t) é \sin(\omega t). (Se preferir pensar em fase: o cosseno teve sua fase deslocada em +90^\circ, virando seno.)

Passo 6

Agora vamos construir o sinal AM-SSB usando a técnica do sinal analítico (método do filtro de Hilbert). Para uma mensagem geral m(t) a construção padrão é:
  • formar o sinal analítico m_a(t)=m(t)+j\hat{m}(t);
  • modular em banda-carrier e tomar a parte real:
s_{\text{USB}}(t)=\Re\{m_a(t)\,e^{j\omega_c t}\}=m(t)\cos(\omega_c t)-\hat{m}(t)\sin(\omega_c t)
(esta é a forma do Upper SideBand, USB). Para o Lower SideBand (LSB) a combinação é a oposta:
s_{\text{LSB}}(t)=m(t)\cos(\omega_c t)+\hat{m}(t)\sin(\omega_c t).
Explicação rápida: multiplicar pelo exponencial desloca o espectro para \pm\omega_c; usar m_a cancela uma das bandas, deixando apenas uma das faixas laterais.

Passo 7

Aplicando isso ao nosso caso m(t)=x(t)=\cos(\omega t) e usando \hat{m}(t)=\sin(\omega t) (resultado do Passo 5), obtemos:
  • Para USB:
s_{\text{USB}}(t)=\cos(\omega t)\cos(\omega_c t)-\sin(\omega t)\sin(\omega_c t).
Uso a identidade trigonométrica \cos A\cos B-\sin A\sin B=\cos(A+B). Assim
s_{\text{USB}}(t)=\cos\big((\omega+\omega_c)t\big).
  • Para LSB:
s_{\text{LSB}}(t)=\cos(\omega t)\cos(\omega_c t)+\sin(\omega t)\sin(\omega_c t).
Uso \cos A\cos B+\sin A\sin B=\cos(A-B). Assim
s_{\text{LSB}}(t)=\cos\big((\omega_c-\omega)t\big).

Passo 8

Interpretação física curta e motivadora: com mensagem tom simples \cos(\omega t), o SSB suprime a portadora e deixa apenas uma única componente na saída: no USB aparece um tom em \omega_c+\omega; no LSB aparece um tom em |\omega_c-\omega|. Isso faz sentido: SSB desloca todo o conteúdo espectral da mensagem para apenas uma das bandas laterais.

Resposta

\hat{x}(t)=\sin(\omega t)
s_{\text{USB}}(t)=\cos\big((\omega_c+\omega)t\big)
s_{\text{LSB}}(t)=\cos\big((\omega_c-\omega)t\big)

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