( 1,5 pontos) Determine a transformada de Hilbert de
e forneça a expressão no tempo do sinal AM-SSB.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Determinar a transformada de Hilbert de
. - Fornecer a expressão no tempo do sinal AM-SSB (Single-Sideband) usando esse
como mensagem.
Informações dadas:(assumimos como frequência angular do tom). Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
O que é a transformada de Hilbert, de forma prática? Vou te dar duas formas úteis:
- No domínio do tempo, a transformada de Hilbert
onde “p.v.” indica o valor principal de Cauchy (isso garante convergência da integral). Isso é conceitualmente importante, mas calcular diretamente essa integral é chato na prática.
- No domínio da frequência (muito mais prático), a transformada de Hilbert corresponde a multiplicar a transformada de Fourier
por , isto é
onde
(multiplicadas por
) e componentes de frequência negativa em
(multiplicadas por
).
Passo 3
Vamos aplicar essa regra fácil ao sinal
. Primeiro escrevo o cosseno em exponenciais complexas (identidade básica):
Aqui temos duas componentes: uma em
e outra em
.
Passo 4
Agora aplico o operador de Hilbert em cada componente usando a regra de frequência:
- A componente
(frequência positiva ) é multiplicada por , ficando . - A componente
(frequência negativa ) é multiplicada por , ficando .
Somando essas duas contribuições obtemos
Passo 5
Agora simplifico essa expressão usando identidades de exponenciais/trigonometria. Faço o fator
explícito:
Lembre que
. Assim,
Como
, obtemos
Portanto a transformada de Hilbert de
é
. (Se preferir pensar em fase: o cosseno teve sua fase deslocada em
, virando seno.)
Passo 6
Agora vamos construir o sinal AM-SSB usando a técnica do sinal analítico (método do filtro de Hilbert). Para uma mensagem geral
a construção padrão é:
- formar o sinal analítico
; - modular em banda-carrier e tomar a parte real:
(esta é a forma do Upper SideBand, USB). Para o Lower SideBand (LSB) a combinação é a oposta:
Explicação rápida: multiplicar pelo exponencial desloca o espectro para
; usar
cancela uma das bandas, deixando apenas uma das faixas laterais.
Passo 7
Aplicando isso ao nosso caso
e usando
(resultado do Passo 5), obtemos:
- Para USB:
Uso a identidade trigonométrica
. Assim
- Para LSB:
Uso
. Assim
Passo 8
Interpretação física curta e motivadora: com mensagem tom simples
, o SSB suprime a portadora e deixa apenas uma única componente na saída: no USB aparece um tom em
; no LSB aparece um tom em
. Isso faz sentido: SSB desloca todo o conteúdo espectral da mensagem para apenas uma das bandas laterais.