(5 pontos) Determine o valor exato de \operatorname{arcsen}\left(\frac{1}{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o valor exato de \operatorname{arcsen}\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr). O conteúdo é trigonometria, mais especificamente a função inversa do seno. Vamos usar a definição de arco-seno e lembrar os ângulos notáveis do círculo trigonométrico.

Passo 2

Por definição, \displaystyle y = \operatorname{arcsen}\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr) significa que
\sin(y) = \tfrac{1}{2}
e que y está no intervalo principal de definição de \operatorname{arcsen}, que é
y \in \bigl[-\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{\pi}{2}\bigr].

Passo 3

Agora identificamos qual ângulo y nesse intervalo satisfaz \sin(y)=\tfrac{1}{2}. Nos ângulos notáveis:
\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) = \tfrac{1}{2},
e \tfrac{\pi}{6} está em \bigl[-\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{\pi}{2}\bigr]. Não há outro valor nesse intervalo que dê seno igual a \tfrac{1}{2}.

Resposta

\operatorname{arcsen}\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr) = \tfrac{\pi}{6}.

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