(5 pontos) Determine
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^{x}-3^{x}}{x}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to0}\frac{2^{x}-3^{x}}{x}.
O conteúdo que vamos usar é a expansão de a^{x} em torno de x=0 (ou seja, a derivada de a^{x} em zero), baseada em exponencial natural.

Passo 2

Reescrevemos as potências na forma de exponencial natural:
2^{x} = e^{x\ln 2}, \qquad 3^{x} = e^{x\ln 3}.

Passo 3

Para u pequeno vale
e^{u} = 1 + u + o(u).
Tomando u = x\ln 2 e u = x\ln 3, obtemos
2^{x} = 1 + x\ln 2 + o(x), \qquad 3^{x} = 1 + x\ln 3 + o(x).
Logo o numerador fica
2^{x}-3^{x} = \bigl(1 + x\ln 2 + o(x)\bigr) - \bigl(1 + x\ln 3 + o(x)\bigr) = x(\ln 2 - \ln 3) + o(x).
Dividindo por x, temos
\frac{2^{x}-3^{x}}{x} = \ln 2 - \ln 3 + o(1).

Passo 4

Fazendo x\to0, o termo o(1)\to0 e sobra
\lim_{x\to0}\frac{2^{x}-3^{x}}{x} = \ln 2 - \ln 3 = \ln\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr).

Resposta

\displaystyle \ln\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)

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