Encontre a solução dos PVIs abaixo usando a transformada de Laplace.
y^{\prime \prime}+y=\sin (2 t) \operatorname{com} y(0)=2 e y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede resolver o PVI
y'' + y = \sin(2t)
com as condições iniciais
y(0)=2,\quad y'(0)=1,
usando transformada de Laplace. Vamos precisar de
  1. L\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
  2. L\{y\}=Y(s),
  3. L\{\sin(2t)\}=\dfrac{2}{s^2+4}.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados de y''+y=\sin(2t), obtemos
s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)+Y(s)=\frac{2}{s^2+4}.
Substituindo y(0)=2 e y'(0)=1, fica
(s^2+1)Y(s)-(2s+1)=\frac{2}{s^2+4}.

Passo 3

Isolando Y(s):
Y(s)=\frac{2s+1}{s^2+1}+\frac{2}{(s^2+1)(s^2+4)}.

Passo 4

Fazendo frações parciais na parcela \displaystyle\frac{2}{(s^2+1)(s^2+4)}:
\frac{2}{(s^2+1)(s^2+4)} =\frac{A}{s^2+1}+\frac{B}{s^2+4} \;\Longrightarrow\; 2=A(s^2+4)+B(s^2+1).
Igualando coeficientes:
\begin{cases} A+B=0,\\\\ 4A+B=2, \end{cases} \quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{2}{3},\;B=-\tfrac{2}{3}.
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Y(s) =\frac{2s+1}{s^2+1} +\frac{\tfrac{2}{3}}{s^2+1} -\frac{\tfrac{2}{3}}{s^2+4} =\frac{2s}{s^2+1}+\frac{5/3}{s^2+1}-\frac{2/3}{s^2+4}.

Passo 5

Agora invertemos cada termo:
  1. L^{-1}\{2s/(s^2+1)\}=2\cos t,
  2. L^{-1}\{(5/3)/(s^2+1)\}=\tfrac{5}{3}\sin t,
  3. L^{-1}\{(2/3)/(s^2+4)\}=\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{1}{2}\sin(2t)=\tfrac{1}{3}\sin(2t).
    Como há sinal menos no terceiro termo,
y(t)=2\cos t+\frac{5}{3}\sin t-\frac{1}{3}\sin(2t).

Resposta

y(t)=2\cos t+\frac{5}{3}\sin t-\frac{1}{3}\sin(2t).

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