(2,5 pontos) Determine o valor de a para que exista lim x 1 2 x^4-8 x+ax^2-2 x+1. Em seguida, calcule o limite. Justifique. (Dica: para a divisão dos polinômios, lembre-se do dispositivo prático de Briot-Ruffini).

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de a que torna
limxto12x^4-8x+ax^2-2x+1
existente (ie, finito) e, com esse a, calcular o limite.
Conteúdo: análise de limite de forma tfrac00, raiz múltipla e divisão de polinômios (Briot-Ruffini).

Passo 2

Para a forma tfrac00 ser removível, o numerador deve zerar em x=1. Seja
f(x)=2x^4-8x+a
Impondo f(1)=0
2cdot1^4-8cdot1 + a = 2 - 8 + a = a - 6 = 0 Longrightarrow a = 6

Passo 3

Com a=6, dividimos o numerador pelo quadrado (x-1)^2=x^2-2x+1. Usando Briot-Ruffini (ou divisão normal):
2x^4-8x+6x^2-2x+1 =2x^2+4x+6

Passo 4

Agora o limite é dado pela avaliação direta do quociente em x=1:
limxto12x^4-8x+6(x-1)^2 =limxto1l(2x^2+4x+6r) =2cdot1^2+4cdot1+6 =12

Resposta

a=6 e limxto1 2x^4-8x+ax^2-2x+1=12.

Exercícios relacionados