Após 5 horas uma colônia de bactérias apresenta uma população de 7 / 6 da população inicial. Determine o percentual de aumento em relação a população inicial após 11 horas. R: 40,37%

Passo 1

O problema trata de crescimento exponencial de uma colônia de bactérias: a população inicial é P0 e, após 5 horas, atinge tfrac76 P0. Vamos usar o modelo de crescimento exponencial e encontrar o parâmetro de taxa k para depois calcular o aumento após 11 horas.

Passo 2

O modelo matemático para crescimento exponencial é dado por
P(t)=P0e^kt
Como sabemos que P(5)=tfrac76P0, substituímos na fórmula:
P(5)=P0e^5k=76P0
Dividindo ambos os lados por P0 e isolando k temos:
e^5k=76 Longrightarrow 5k=lnl(76r) Longrightarrow k=15lnl(76r)

Passo 3

Agora calculamos a população em 11 horas usando o valor de k:
P(11)=P0e^11k = P0e^11l(15ln(76)r) = P0l(76r)^!tfrac115

Passo 4

O percentual de aumento em relação a P0 é dado por
P(11)-P0P0times100% =l(l(tfrac76r)^!tfrac115-1r)times100%

Passo 5

Fazendo a conta numérica:
l(tfrac76r)^!tfrac115approx1,4037 Longrightarrow l(1,4037-1r)times100%approx40,37%

Resposta

40,37%

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