(2,5 pontos) Encontre o valor de lim x infty (3 x-4)^20(4 x+3)^20(4 x+1)^40. Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxtoinfty(3x-4)^20(4x+3)^20(4x+1)^40,
que é um caso típico de limite no infinito envolvendo potências de polinômios. Vamos usar a ideia de fatorar x em cada fator linear para identificar o comportamento dominante.

Passo 2

Fatoramos x em cada termo linear:
3x-4 = xcdot3l(1 - 43xr), 4x+3 = xcdot4l(1 + 34xr), 4x+1 = xcdot4l(1 + 14xr)
Substituindo na fração, obtém-se
(3x-4)^20(4x+3)^20(4x+1)^40 =l[xcdot3(1-tfrac43x)r]^20,l[xcdot4(1+tfrac34x)r]^20 l[xcdot4(1+tfrac14x)r]^40

Passo 3

Agora simplificamos as potências de x e as constantes:
&=x^203^20,(1-tfrac43x)^20;times;x^204^20,(1+tfrac34x)^20 x^404^40,(1+tfrac14x)^40 &=3^20,4^204^40;cdot;(1-tfrac43x)^20(1+tfrac34x)^20 (1+tfrac14x)^40 =3^204^20;cdot;(1-tfrac43x)^20(1+tfrac34x)^20 (1+tfrac14x)^40

Passo 4

Quando xtoinfty, temos
1-43xto1, 1+34xto1, 1+14xto1,
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(1-tfrac43x)^20(1+tfrac34x)^20(1+tfrac14x)^40to1
Portanto o limite vale simplesmente o fator constante que sobrou:

Resposta

limxtoinfty(3x-4)^20(4x+3)^20(4x+1)^40 =l(34r)^20

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