1. ( 2,5 pontos) Determine os valores reais de k, em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha: (i) única solução; (ii) infinitas soluções; (iii) nenhuma solução.
c x+y+k z=1 2 x+3 y-z=k x+y-z=4

Passo 1

O enunciado pede para determinar, em função de k, as condições de existência e unicidade de solução de um sistema linear de três equações e três incógnitas. Vamos usar a teoria de sistemas lineares: calculamos o determinante da matriz dos coeficientes para saber quando há solução única, e no caso em que esse determinante é zero, comparamos o posto da matriz ampliada com o posto da matriz de coeficientes para decidir entre infinitas ou nenhuma solução.

Passo 2

Montamos a matriz dos coeficientes
A = 1 & 1 & k 2 & 3 & -1 1 & 1 & -1
e calculamos seu determinante por cofatores na primeira linha:
det(A) =1cdotdet3&-11&-1 -1cdotdet2&-11&-1 +kcdotdet2&31&1
Calculando cada menor:
det3&-11&-1=-2, det2&-11&-1=-1, det2&31&1=-1
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det(A)=1cdot(-2)-1cdot(-1)+kcdot(-1)=-2+1-k=-(k+1)

Passo 3

Pela regra de Cramer, o sistema tem solução única se det(A)neq0. Assim,
det(A)neq0iff -(k+1)neq0iff kneq -1

Passo 4

Para
Mas isso exige .

Passo 5

Não existe nenhum valor de k para o qual o sistema seja compatível indeterminado (infinitas soluções), pois o único ponto em que det(A)=0 leva a inconsistência.

Resposta

(i) única solução para kneq -1.
(ii) infinitas soluções para nenhum valor de k.
(iii) nenhuma solução para k=-1.

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