( 2,5 pontos) Determine os valores reais de , em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha: (i) única solução; (ii) infinitas soluções; (iii) nenhuma solução.
Passo 1
O enunciado pede para determinar, em função de k, as condições de existência e unicidade de solução de um sistema linear de três equações e três incógnitas. Vamos usar a teoria de sistemas lineares: calculamos o determinante da matriz dos coeficientes para saber quando há solução única, e no caso em que esse determinante é zero, comparamos o posto da matriz ampliada com o posto da matriz de coeficientes para decidir entre infinitas ou nenhuma solução.
Passo 2
Montamos a matriz dos coeficientes
A = 1 & 1 & k 2 & 3 & -1 1 & 1 & -1
e calculamos seu determinante por cofatores na primeira linha:
Pela regra de Cramer, o sistema tem solução única se det(A)neq0. Assim,
det(A)neq0iff -(k+1)neq0iff kneq -1
Passo 4
Para
Mas isso exige .
Passo 5
Não existe nenhum valor de k para o qual o sistema seja compatível indeterminado (infinitas soluções), pois o único ponto em que det(A)=0 leva a inconsistência.
Resposta
(i) única solução para kneq -1.
(ii) infinitas soluções para nenhum valor de k.
(iii) nenhuma solução para k=-1.