Escolha entre as questões 1,2 e 3, UMA para resolver
2. ( 2,5 pontos) Seja A uma matriz quadrada de ordem 5 , cujo determinante é igual a -4 , pede-se:
(a) O determinante da matriz P dada por P=3 A^-1 A^T. Além disso, P é invertível ?
(b) O determinante da matriz B obtida de A após serem realizadas as seguintes operações: L3 long<=ftrightarrow L2, L1 longrightarrow L1+3 L5, L4 longrightarrow-2 L4.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada A de ordem 5 com
det(A) = -4
e pede duas coisas:
(a) o determinante de
P = 3,A^-1A^T
e se P é invertível;
(b) o determinante da matriz B obtida de A por meio das operações elementares
L3long<=ftrightarrow L2, L1longrightarrow L1+3,L5, L4longrightarrow -2,L4
Para resolver vamos usar as propriedades de determinante:
  • det(XY)=det(X)det(Y).
  • det(A^T)=det(A).
  • det(A^-1)=1/det(A).
  • det(cA)=c^ndet(A) para matriz ntimes n.
  • Efeito das operações de linha: trocar duas linhas multiplica por -1, somar múltiplo de uma linha em outra não altera, escalar uma linha por k multiplica o det por k.

Passo 2

Cálculo de det(P).
Como
P = 3,A^-1A^T = (3I5),A^-1,A^T,
usamos
det(3,A^-1) = 3^5,det(A^-1), det(A^T) = det(A),
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det(P) = det(3,A^-1);det(A^T) = 3^5,det(A^-1),det(A) = 3^5,1det(A),det(A) = 3^5 = 243
Como det(P)=243neq 0, concluímos que P é invertível.

Passo 3

Cálculo de det(B) após as operações em A:
  1. Troca L3long<=ftrightarrow L2 multiplica o determinante por -1.
  2. Soma L1longrightarrow L1+3,L5 não altera det.
  3. Escala L4longrightarrow -2,L4 multiplica o determinante por -2.
    O fator total é
(-1)times1times(-2)=2
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det(B)=2;det(A)=2times(-4)=-8

Resposta

(a) det(P)=243. Como é não nulo, P é invertível.
(b) det(B)=-8.

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